（一）什么意思？ 意思是：1个小时的一对一数学课，每次不超三题 ——可以是一道题，但不可以是四道题
（二）做题，要有清晰的“收益点” 题目多，势必陷入“寻求答案”的思维 题目越少，越有利于深入探讨，探讨：
- 在这道题上体现的短板，以及如何改进
- 学习应该怎么思考？为什么这样思考？
- 通过这道题，掌握了什么知识？相关问题可以如何处理？
- … … 等等
做一题，要有清晰的收益 这个收益，未必能立刻达成；但，必须找到、必须明确 ——这道题之后，在什么什么地方，是我要长进的
比如，收益是个具体知识 掌握它 ——需要第一次了解，第二次重复，第三次巩固深入，等几个来回 ——需要在题目中有意无意的几次碰到，才能掌握 但以上前提是：解题中需要把这个点明确找到，才有这个过程 否则，做了一道题，仅仅是做了一道题 如果，流水线工人拧了一颗螺丝，第二天继续
比如，收益是个思维方式、阅读方式、解题策略、底层逻辑…等等 则：更应该明确讲出来 更应该把这道题作为一个学习此能力的开始，或者学习的一次重复
不能全等着学生自己悟，那会事倍功半，事十功一，事百功一 灰尘不扫，不会自己跑掉 好东西不捡，也难以主动到自己手里来
（三）数学学习，需要把“收益点”不断重复 总归，数学能力的提升，需要一个重复的过程 但不是“做题”的重复 而是，“高质量做题”中“能力点”的重复
比如，“各知识的应用、“正推”的习惯、“留痕阅读”的习惯… … 等等
这些能力点，学生做的好与不好，都是解题中发现的 ——这个发现需要老师耐心讨论
这些能力点，如果学生做的不好，也是一道题一道题中解决，一遍遍重复中改进 ——这个解题，指高质量的，能找到“能力点”的解题 ——需要老师的辅助，和学生的认真琢磨
若一旦做到，长期以往 从而就把知识应用、基础思维变成习惯 从而能在习惯中再精进
（四）看看讲一道题的具体过程 接下来，具体关注“收益点”可能是什么，怎么找到，怎么解决…
（4.1）了解学生的进展 首先：学生，对题目的理解和分析，做到了什么程度 这几乎是所有题目的起手式 学生的表达意识、表达能力，也需要培养 这是重要的、必不可少的 老师的所有讲解，都建立在“当前学生”的“现有状态”下进行
同时：老师在学生的讲解中，需要完成以下分析判断
- 学生是否读懂了整个题目？
- 学生的读题习惯是否好，是否做到了基础的留痕阅读？
- 学生的正推习惯是否好，是否有足够的“知识联想”和“逻辑推理”？
- 是否有倒推的意识？是否有好的倒推能力？
- 是否卡在了关键知识点上？
- … … 等等
以上，学生讲，老师想； 接下来，进入双方的讨论，讨论（什么薄弱点）导致没能做出来，以及如何解决…
（4.2）实际讨论 - 针对“未读懂题目”导致解题失败 这里包括，学生以为读懂了 ——但实际上并没有抓住全部信息，甚至没有抓住关键。 因此，即便学生说“懂了” ——也需要些许判断，或让学生“用自己的语言”复述题目意思。
- 一个情况，是具体知识缺乏——这最容易解决，讲明白就是
- 一个情况，是不会整体阅读 不能整体联系起来，从全局角度回头理解具体一句话 这个情况，略难处理，需要不断改进，每次好一点 但不严重，因为这么难读的题目比例不多
- 一个情况，抽象能力不够 即题目可能是应用题 即题目虽然是数学语言描述，但依然很笼统，需要自己抽象出数学问题 两个原因，其一学生自身薄弱，需要留意观察，需进一步确认（确认后，需要特意练习） 其二原因，是题目本身就难在这个地方，要明确指出，把当前题目作为练习学习的机会
- 一个情况，态度问题 需要进一步放慢学习节奏，让学生感受什么是沉下来解题，体会沉下来的价值，接受沉下来的方式，养成沉下来的习惯… 棘手的问题，需要家长理解，放弃短期的直接的成绩要求 棘手的问题，不保证一定改好
- 一个情况，意识问题 需要现场，深入演示、体会如何读题 需要讲明白道理 需要接下来时间集中的、不断的强调——以形成习惯
（4.3）实际讨论 - 针对“留痕阅读”做的不够的情况 即：题目的意思，明白；但这未必是解题需要的明白，如下
- 仅限于表面意思 ——如果让学生复述是什么意思，那么复述出来和原题几乎一次不差 ——可能是表达能力问题。此时，引导其“自己语言”“多角度”解释 ——更有可能，是“唐诗”那种阅读，每句话都明白，但对齐内涵知之甚少。此时，强化具体信息的“抽象”能力。
- 仅限于“语文”意思 ——从表达的角度懂了，比如“单循环比赛”指“两两比一场” ——但这始终停留在语文层面，这并不能直接用于解题 ——我们需要抽象到数学角度，“两两”意味着“交叉相乘”这样一个数学模型 ————这才算“读懂” ————这才是读后大脑里要留下的“痕迹” 这类情况，不需要专题练习，但需要每道题都刻意练习 ——今后一段时间，每道题，都要在这个地方上花一些时间去练习 ——一是习惯的养成，一是能力的练习
（4.3）实际讨论 - “数学表达”做的不够好 数学表达，是重要的数学能力，是解题的基础步骤，是“抽象能力”的典型体现 比如，甲比乙大8岁，怎么在数学上表示？
- 方法1，甲=▲，乙=▲-8
- 方法2，甲=▲+8，乙=▲
- 方法3，甲=▲+4，乙=▲-4 这里，方法3具有对称属性，在不少情况下更好用
比如，A除以B，商是7，余数是4，怎么表达？
- 方法1，A÷B=7…4
- 方法2，A=7×B+4 这里，方法2比方法1有显著的优势——然而，大部分学生是方法1
比如，“长方形”这个条件如何体现?
- 方法1，对边相等、平行、垂直
- 方法2，对角线相等、平分 （如果相等、平分、垂直，就是正方形） 这里，方法2，在某些题目中起到不可获取的作用 这个表达方式适用所有四边形
这个能力，需要不断的重复培养，需要在解题中，老师发现不足就提出来， 进一步告知更好的方式，以及为什么这样更好 以及建立这种不断改进表达的意识 以及找到漂亮表达的思维方式 … …
（4.4）实际讨论 - 针对“正推发散”做的不够 前面的读题、留痕，每个学生都多少有些问题，做的好的也不少 但“正推发散”几乎所有学生（未练习前）都存在问题，而且较为严重
其原因，主要是现有教育不做这些事情，只关注解题 但会说：“你好好读读”“你仔细想想” 怎么叫“仔细想想”？ ——不知道。自己悟吧！ ——可惜，绝大部分学生并不是圣人
这就需要，在解题中，去刻意养成这个能力 即 从学生的讲解中，判断哪儿（推理）做的好，哪儿（推理）做的不足
针对好的地方，强调出来 特别是把这个思维过程清晰出来 可以整理的比他做的还好——这没关系，重要的是，让学生知道这样思考方式是对的，按这个比葫芦画瓢，发扬光大
针对不好的地方，说出一点改进 最初，学生可能缺的很多，不要都说出来，说太多反而一点都留不下 一道题，能改一点，就太太厉害了 一般，多道题，也未必真能改进一点 ——有用的东西，都不容易得到。得到了，也真是有用
学生的好与不好，都是个引子 但这个引子不可或缺，以免无的放矢，以免硬灌输 有了引子，然后用好，学生配合，愿意琢磨，愿意学 个么，进步可期
具体“正推发散” 包括单个信息的推理，包括有条理的组合多个信息，包括单元分析，包括动态分析，包括发散的程度，包含何时聚焦… 学生的好与不好，每个学生各有不同 相对专业，不做更详细展开
（4.5）实际讨论 - 针对“倒推聚焦”“猜想证明”等角度的问题 与“正推发散”同理，略
（4.6）实际讨论 - 针对没有清晰的“解题策略” 起初学生都是这个样子 看到一道题，并不知道要做什么；东一榔头、西一棒槌 做出来，就做出来了；做不出来，就做不出来 听天由命
实则不然，解题，有较清晰的思维逻辑 “阅读→留痕→正推→倒推→链接” 这个逻辑，本身需要练习、学习 每个阶段做什么事情，不要略过，不要混乱，不要轻易换着力点
进一步，在具体推理上 针对诸多信息的处理，有轻重缓急 随着推理进展，遍历信息的重点、顺序也需要调整 随着推理的不顺利，坚持还是换个赛道，需要不断练习、体会，以期做的更好
这些，依赖于讨论中老师理解学生的思维，并给出合适的引导和练习
（4.7）实际讨论 - 针对“思维方式”“底层思想”的薄弱 题目读明白了 正推也做了，倒推也想了，甚至链接作用的猜想都做了 但，没做好 做的不够，做的有偏差
比如，隐含信息，理解不足，没有足够意识和能力去挖掘 比如，简化思维不足，解题方向有偏差，或者止步不前 比如，链接思维不好，思考的方向、角度、着力点不对 比如，方程思想掌握不深，对于解的判断以及处理方式理解不够，便不能有效的在好的方向上推理 … …
以上，随手写下，不能代表十之一二 这些内容，是数学的基础，是核心 如果说“解题策略”还只影响到解题； 那思维方式、底层思想则影响对问题的分析，不限于解题，不限于数学题 ——而是，我们基础的分析能力，可用于数学之外，毕业之后 ——或这才是数学最有价值的地方
当然，也是最难的地方 好像，都懂一点；但，又感觉都做不好 学起来，是个无底洞
但凡我们要求高一点 这一层面的能力，都不会放弃 不论最后程度，学一点，十一点，就会方方面面的表现好一点
（4.8）实际讨论 - 针对“具体知识”“底层逻辑”的薄弱 具体知识，就是一个个定理、一个个（小）结论 这个角度，学生最大的问题是：分不清“会”和“会用” “会”，这个要求只需20%的精力；“会用”，要花80%精力掌握 然太多学生，止步于“会” 从而出现 ——本题，所有需要的知识，都会；但，就是题做不出来 这种情况
会，就像自己拥有了很多武器，手枪、机枪、大炮、火箭、坦克、飞机… 打仗了，这些武器在仓库安安稳稳睡觉 你不知道叫谁、用谁、怎么用 怎么打赢解题这一仗？
这要求，讨论中，老师要清晰的判断： 这个关键知识点，学生是“会”还是“会用” 并解决问题
“会用”一个知识点，有行之有效的方法： 明白其底层逻辑 明白其不同的展现形式 明白其正向反向的推理 明白和相关知识之间的联系 明白和同类知识之间的异同，以及共有的底层逻辑 如此，在具体问题中，才有可能、才更容易抽象出相关的“具体知识”； 这样，才能需要时，用得上；以及，进一步用的灵活；
“底层逻辑”和“具体知识”无本质区别 数学里面的“知识”本身就是一个底层道理 这里“底层逻辑”无非强调对逻辑关系的跟深入一层的理解 比如“面积传递信息”是很多几何题目解题的底层逻辑 在学习上、使用上，和“具体知识”如出一辙 不再赘述
（4.9）实际讨论 - 解题之后的工作 这是最后一块与学生讨论问题时需要做的事情
第一是“知识总结” 如果知识，知识书本上的定理，那是不够的 题目中蕴含很多“小结论” 特别是符合“简洁、普适、不易得”特性的漂亮结论 是我们今后提高解题能力解题速度的帮手
第二是“规则化” 如果题目具有典型性 那么清晰的“思维过程”是值得整理的 这里，不是“一二三”具体的解题步骤 而是，侧重思考的，先思考什么，在处理什么，谁和谁是问题关键
第三是“系统化、结构化”分析 如果题目具有典型性 围绕这道题，在横向的变化，会如何？ ——横向，指数值的变大变小，涉及因素的增加减少 ——这是高效的主题学习方法 围绕这道题，在纵向的变化？ ——往上，指题目更简洁的逻辑，更基础的形式是什么 ——往下，可以进一步延申出什么问题
第四是“最后回顾” 对于从讨论开始到最后，本题涉及的“学习点”的明确 只要1分钟，但建立一个清晰的大纲
第五是“必要的练习” 趁热打铁，重要点的相关练习，及时做一做 至此，一道题的营养，能压榨的基本都压榨差不多了 可以放过它了
（4.10）最后 大抵，以上这些体现了“讨论一道题”可能的方方面面
（五）回到最初 （5.1）不能讲太多题目 以上，这个“内容繁复的解题讨论”，是否有意义呢？ ——答案是显然的 ——不仅有意义，甚至是学生最为需要的
完成以上过程，需要多少时间呢？ ——20分钟，未必够；40分钟，不嫌多 ——至少，需要的时间不会短 ——至少，一节课无法讲很多题目
如果一节课，非要讲很多题目，还能有这样的学习效果吗？ ——不能 ——所以，我们不要安排讲太多题目
（5.2）老师的任务与方法 如果说，学校的老师是老师 那么校外的老师更应该像医生和导师 首先，发现问题并解决问题；其次，带着学生往更好的状态努力
这一切的形式，简单，单一 就是做题 就是讨论题 就是解题中解决一切问题 ——只是：但这个“解题讨论”是高质量的，内容比想象的丰富
（5.3）所以 回到最初 一节课，“讨论3道题”，可能是个不错的选择