〚尖6比例·1·24·3〛比例组合

摘要

题目

有铜、铁、铝制成的合金A、B、C各1千克；在A、B、C中铜铁铝的质量比分别为1:2:1、2:3:3、4:3:2； 若将A、C制成一种铜铁铝质量比为4:5:3的新合金，最多可制成新合金多少千克？

解答

首先，各成分具体含量

• 各成分，的具体含量 ——注：LCD（4，8，9）=72
  • $A中，Cu:Fe:Al=1m:2m:1m=18:36:18$
  • $B中，Cu:Fe:Al=2n:3n:3n=18:27:27$
  • $C中，Cu:Fe:Al=4k:3k:2k=32:24:16$
  • 故全部的铜铁铝重量比例 $Cu:Fe:Al=(18+18+32):(36+27+24):(18+27+16)=68:87:61$

理想情况

• 方法1，按最小比例的计算——【一般性】
  • 比较：$铜，68/4=17；铁，87/5=17.4；铝，61/3=20.33$
  • 结果，铜的比率最小，铜最为稀少。新合金，按最少的铜计算：
    • $Cu:Fe:Al=4:5:3=68:68\times \frac{5}{4}:68\times \frac{3}{4}=68:85:51$
    • 即：总材料定义为72×3=216份
      • 铜68份，用掉68份，用尽；
      • 铁87份，用掉85份，剩2份；
      • 铝61份，用掉51份，剩10份；
  • 新合金，重量
    • 直接计算 $1kg\times \frac{68+85+51}{72}kg=2\frac{5}{6}kg$
    • 总量减浪费 $3kg-\frac{10+2}{72}kg=2\frac{5}{6}kg$
    • 按比例 $\frac{68\times \frac{4+5+3}{4}}{72}\times 1kg=\frac{17}{6}kg$
• 理想情况，方法2——【特殊性】——直接配比
  • 现有材料，逐步按4:5:3分解
    • $Cu:Fe:Al$
    • $=68:87:61$
    • $=(40+28):(50+37):(30+31)$
    • $=(40+4\times 7):(50+5\times 7+2):（30+3\times 7+10）$
  • 以上，Cu用光，Fe剩余2份，Al剩余10份。同上，可得答案
    • ——这个方法，简单很多
    • ——但通用性不明显，需要进一步总结分析，才会更方便用在其他问题

棘手问题

• 棘手的问题：原合金中的三种成分，是否能充分利用？
  • 情况1，A中铜铁铝可分离，B、C也可以，最后得到分离后的铜铁铝，任意调配；
    • ——此时，答案如上
  • 情况2，A切一部分、B切一部分、C切一部分，然后融合
    • 此时，似乎未必能物尽其用！
      • 反向思考，若物尽其用，最后只留下Fe（2份）和Al（10份），不留下Cu
      • 但，无论如何切割，不论剩余A、B、C哪一种或几种，都会留下Cu
      • 故：仅靠切割后融合，无法充分利用所有物质。
    • 这种情况，具体会发生什么？继续分析
• 假设原合金不能把铜铁铝分离，是否仅靠切割组合得到符合条件的合金？能得到多少？

不能分离，仅靠切割组合

• 首先，确定“合成新合金，需要使用的A、B、C的比例”
  • $假设：A=1克，B=x克，C=y克，满足，融合后铜铁铝=4:5:3$
  • 参考
    • $A中，Cu:Fe:Al=1m:2m:1m=18:36:18$
    • $B中，Cu:Fe:Al=2n:3n:3n=18:27:27$
    • $C中，Cu:Fe:Al=4k:3k:2k=32:24:16$
  • 则新的合金中
    • $Cu:Fe:Al$
    • $=(18+18x+32y):(36+27x+24y):(18+27x+16y)$
    • $=4:5:3$
    • 以上包含2个限制，等价表达如下
      • $(18+18x+32y)\times 5=(36+27x+24y)\times 4$
      • $(18+18x+32y)\times 3=(18+27x+16y)\times 4$
    • 转为简易二元一次方程，得解
      • $x=1/5；y=9/10$
      • 即：$A:B:C=1:x:y=1:\frac{1}{5}:\frac{9}{10}=10:2:9$
    • 验证：$(18,36,18)\times 10+(18,27,27)\times 2+(32,24,16)\times 9=(504,630,378)=4:5:3$
• 答案
  • 以上，$A:B:C=1:\frac{1}{5}:\frac{9}{10}=10:2:9$
  • 故，新合金重量： $(1+\frac{1}{5}+\frac{9}{10})\times 1kg$

拓展分析

1. 切割组合式，“剩余的B、C”为何不能继续合成新合金？
   • 角度1，按比例进行分析
     • $剩余的B，Cu:Fe:Al=2:3:3=4:6:6$
     • $剩余的C，Cu:Fe:Al=4:3:2$
     • $新的合金，Cu:Fe:Al=4:5:3$
     • 以上比例中，Cu的份数统一为4
       • B中Fe是6份，C中Fe是3份，为了得到5份Al，需要2/3的B和1/3的C
       • B中Al是6份，C中Al是2份，为了得到3份Al，需要1/4的B和3/4的C
       • 以上2个条件只能满足一个，故无法得到需要的新合金
   • 角度2，方程与未知数
     • $假设B、C混合的比例为1:x，那么，满足锌合金要求，需要满足2个条件$
     • 1个未知数，2个方程
       • ——除非凑巧（2个方程一致），否则没有x能满足条件
2. 切割组合情况下的完整方程分析
   • 若原始合金有3种，金属成分有3种，2个配比未知数、2个约束方程，一般有解
   • 若原始合金有2种，金属成分有3种，1个配比未知数、2个约束方程，一般无解
   • 若原始合金有3种，金属成分有2种，2个配比未知数、1个约束方程，一般有多个解
   • 若原始合金有m种，金属成分有n种，m-1个配比未知数、n-1个约束方程
     • 原始合金种类越多，m越多，组合手段越多，未知数越多
     • 金属成分越多，n越多，要求越多，约束限制越多
     • m>n，未知数多，约束方程少，一般有多个解，限制不住
     • m=n，一般是恰好
     • m<n，未知少，变化少，要求多，一般难以满足
   • 未知多，从解题角度，难以确定；从数据本身较多，自由变量多，灵活
   • 限制多，从解题角度，容易确定；从数据较多，容易限制太多，无法满足