〚尖7-整式-1.3.4〛⭐⭐⭐🏅

题目

求证：如果x取任意整数值时，二次三项式 $a{x}^2+bx+c$ 总是整数，那么2a、a+b及c都是整数，并且反过来也正确. 关联：代数式-整式、链接思维、数论问题、漂亮题目 ——非常锻炼基础逻辑能力 年级：7年级

解析

解答

第（1）问，证明方法

• c=f(0)=整数
• a+b=f(1)-f(0)=整数
• 2a=f(1)+f(-1)-2f(0)=整数 ——或者：2a=f(2)-2f(1)+f(0)=整数 第（2）问，证明方法
• $f(x)=a{x}^2+bx+c=a{x}^2-ax+ax+bx+c=2a\frac{x(x-1)}{2}+(a+b)x+c$
• 上式每一部分都是整数，故结果是整数

附注

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