题目

如果 $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2$ 能分解成两个系数为有理数的一次因式之积，求m的值。

导引

尝试做双十字相乘 $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2$ $= (2 x - y) (x + y) + m y - 2$ （双十字分解，第一步） $= (2 x - y - 2) (x + y + 1) + m y - 2 y - y$ （双十字分解，第二步，根据 $2 x^{2} + 0 x - 2$ 进行分解）
可以分解，说明 $m y - 2 y - y = 0$ 故：m=3
但，以上分解，极易漏掉答案 $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2$ $= (2 x - y) (x + y) + m y - 2$ $= (2 x - y + 2) (x + y - 1) + m y + 2 y + y$ 故：m=-3
以上，两个答案的原因在于“分解的不唯一性” 即： $2 x^{2} + 0 x - 2 = (2 x + 2) (x - 1)$ 也可以： $2 x^{2} + 0 x - 2 = (x + 1) (2 x - 2)$

双十字相乘 $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2$ $= (2 x - y) (x + y) + m y - 2$ $= (2 x - y + a) (x + y + b)$ $= (2 x - y) (x + y) + (a + 2 b) x + (a - b) y + ab$
故，有： $⎩ ⎨ ⎧ a + 2 b = 0 a - b = m ab = - 2$
解得 $a = 1, b = - 2, m = 3$ 或 $a = - 1, b = 2, m = - 3$

以x为主元，分析 $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2 = 2 x^{2} + (y) x + (- y^{2} + m y - 2)$ $Δ_{1} = y^{2} - 8 (- y^{2} + m y - 2) = 9 y^{2} - 8 m y + 16$ $Δ_{2} = 8^{2} m^{2} - 4 \times 9 \times 16$
$Δ_{2} = 0$ 故 $m = \pm 53$
关键： $Δ_{2} = 0$ 怎么来的？考虑到： $2 x^{2} + x y - y^{2} + m y - 2 = 2 (x - \frac{- y + Δ _{1}}{2 \times 2}) (x - \frac{- y - Δ _{1}}{2 \times 2})$ 若满足要求，有理数分解，必须 $Δ_{1}$ 是完全平方，故需要 $Δ_{2} = 0$
注：“可分解”与“可有理数系数分解”，区别在于若 $x^{2} + m x + 1$ 可分解，条件是 $Δ = m^{2} - 4 \geq 0$ 若 $x^{2} + m x + 1$ 可有理数系数分解，条件是 $Δ = m^{2} - 4 = a^{2}$ 这里a是有理数

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