题目
如图，在△ABC中，已知∠B=2∠C，AC=AB+BD，求证：AD是∠BAC的平分线
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四川省竞赛题、※全等基础 之 构建全等、同一法与反证法、三元关系、二倍角、线段和、〚新思维8-13-6〛☆☆☆💯🏅 ^785fd1题目
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解答，基础分析
三元关系
如下
- 涉及三个条件：①二倍角，②角平分，③线段和
- 第一题，是由“①二倍角，③线段和”得到“②角平分”
- 第二题，是由“①二倍角，②角平分”得到“③线段和”
- 当然也存在由“②角平分，③线段和”得到“①二倍角”
三元关系有时不对称，表现为
- 反过来的结论部分成立
- 有些方向的证明或求解，更难一些 比如本题，由①③得到②，有可能碰到困难
示例，由①②得到③的证明
即，已知“二倍角、角平分”得“线段和”；如下，构建全等即可
故，第二道题，求BC长度，答案：BC=AC+AD=16+8=24
解答 - 由①③得到②，三个方案一个困难
如下，容易想到的3个解题方案
其中，第2、3两个方案，都容易得到证明
第1个方案，会碰到困难。
如果，我们没有想到后2个方法，只有第1个思路，怎么办？
解答 - 由①③得到②，反证法
解答 - 由①③得到②，同一法
除“反证法”之外，还有一个不常见的方法“同一法” 同一法，需要两个环节
- 确认“唯一性”
- 证明“逆命题”
比如本题，关于“唯一性”的说明（证明）
- 首先，一个三角形先确定∠B=2∠C
- 此时，AC>AB，在BC上取一点X，让BD=AC-AB
- 根据两边和大于第三边，这个D点一定存在，且唯一
- 即：满足AB+BD=AC条件的AD这条线是唯一的
本题，第2步，证明逆命题
- 即，证明“①二倍角，②角平分”得到“③线段和”
- 即“AX是角平分线时，恰能满足AB+BX=AC”
- 而，满足AB+BD=AC的点具有唯一性，故X=D
- 故AD和AX是同一条线，是角平分线
附注
👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-05-19 14:03
