〚新思维8-4-19〛❓

题目

设正整数a,b,c,d满足 $a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2$，证明：a+b+c+d为合数 ——关联：📝因式分解 ——2018年北京市竞赛题 ——①约束表达：通过合适的方式，将约束条件，体现在a+b+c+d中 ——②因式分解，实现证明 ——链接：〚新思维8-4-19〛❓

解答

已知的约束表达

1. $(a+b{)}^2-3ab=(c+d{)}^2-3cd$
2. $(a+b+c+d)(a+b-c-d)=3ab-3cd$ 辅助的构建分析
3. $3ab-3cd=3b(a+b-c-d)-3b^2+3bc+3bd-3cd$ $=3b(a+b-c-d)+3c(a+b-c-d)-3ac+3c^2-3b^2+3bd$ $=3b(a+b-c-d)+3c(a+b-c-d)+3d(a+b-c-d)-3ad-3d^2+3dc-3ac+3c^2-3b^2$ $(a+b{)}^2-(c+d{)}^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab-cd)$ $(a+c)(b-d)=ab-cd+bc-ad$

附注

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