〚260922〛☆☆☆📋

题目

化简 $y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3\times 5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{1+\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{5\times 7}}+...+\frac{\sqrt{95}-\sqrt{93}}{1+\sqrt{95}+\sqrt{93}+\sqrt{93\times 95}}$

导引

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3\times 5}}$

解答

多个解题方法

解法1，因式分解+拆项，最简洁

1. 通项分析 $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}+1)-(\sqrt{b}+1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)}=\frac{1}{\sqrt{b}+1}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}$
2. 多项求和 $y=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{7}+1}+...+\frac{1}{\sqrt{93}+1}-\frac{1}{\sqrt{95}+1}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{95}+1}$

解法2，因式分解+有理化

以上若看不出$\sqrt{a}-\sqrt{b}=(\sqrt{a}-1)-(\sqrt{a}-1)$，则正常有理化。

1. 通项分析 $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)}=\frac{\sqrt{b}}{b-1}-\frac{\sqrt{a}}{a-1}-\frac{a-b}{(a-1)(b-1)}$
2. 多项求和 $y=(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{2}{3\times 5})+(\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{7}}{6}-\frac{2}{5\times 7})+...+(\frac{\sqrt{93}}{92}-\frac{\sqrt{95}}{94}-\frac{2}{93\times 95})$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{95}}{94}-(\frac{1}{3}-\frac{1}{95})$

解法3，“纯”有理化

所谓“纯”，就是按“最土”的方法有理化

1. 通项分析（简化、有理化） $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\cdot [(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(1+\sqrt{ab})]}{(1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab})\cdot [(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(1+\sqrt{ab})]}==\frac{\sqrt{b}}{b-1}-\frac{\sqrt{a}}{a-1}+\frac{a-b}{(a-1)(1-b)}$
2. 求和，同“解法2”

三个方法分析

1. 方法1，最简单，但有两个不容易想到的点 其一，$1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)$ 这一步，需要对因式分解比较熟悉， 同时理解“因式分解，从乘除角度，也是一种简化” 其二，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=(\sqrt{a}-1)-(\sqrt{a}-1)$，这是一步灵活的处理
2. 方法2，意义在那里？ 我们解题，不能依赖于固定的（即便是最好的）方法 所谓好方法，另一面便是局限性。比如对思维要求高，对知识要求高，适用面低，等等。万一，好方法用不起来，应该有基础的、朴素的方法兜底。 方法2，在于看不到某一步，依然能解决。
3. 方法3，是技术要求最低的方法，同时也是体现基础能力的方法。 若方法1的两个点，都看不到，仅“有理化”操作，依然可解。 当然，其不足之处在于计算量。 但对于学习而言，又是一个好处：锻炼计算能力的好机会。 附：方法3的简化过程 这类计算，是常规的数学能力。不难，但要多练习，不亲自做不行。
4. 三个方法背后的共同点是：有理化、简化 这也体现出“有理化、简化”的价值，分母中不再有“根号”，则表达式以更简洁的形式呈现，有利于进一步计算简化。 有理化，本质便是简化； 计算，本质也是简化；

三种通项比较

多项求和，核心注意事项

1. 不要忽视通项拥有的特征
2. 不要误解题目没有的特征 一个好的手段是用通项进行分析 通项，本质是 数学表达 本题通项，有以下三种表达方式 $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3\times 5}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}}$ $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3\times 5}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{1+\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}+\sqrt{(2n+1)(2n-1)}}$ $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3\times 5}}=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}}\\ a-b=2\end{array}$ 各方式优缺点 1，信息不全 2，复杂，增加计算复杂性 3，综合更好

以上数学表达，也是变量冗余的一个体现 即本来可以用一个变量n的事情，用两个变量a、b表达 一般用在：a、b之间关系比较清晰，容易理解；同时，再应用场景中，这个逻辑关系大量存在。此时，用2个变量，把关系独立出来，会更简洁。

根式的两个核心

初中的根式问题，有2个核心点

1. “根式有理化（简化）” 前面方法比较中已经提及，三个方法本质都是利用根式的有理化简化，仅仅具体过程不同。
2. “根式不变性” 这是根式一个底层的道理。 即，如下算式 (a、b、c、d、e、f、g、h为有理数）$(a+b\sqrt{x}{)}^5-(c-d\sqrt{x}{)}^8+\frac{e+f\sqrt{x}}{(g-h\sqrt{x}{)}^2-\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ 以及此类算式，无论是否再复杂一些，简化整理后，都变成 $s+t\sqrt{x}$的样子 这是根式有理化的基础道理

解析

附注

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