〚新思维9.1-15〛☆☆🏅

题目

已知关于x的三个一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0，b{x}^2+cx+a=0，c{x}^2+ax+b=0$ 恰有一个公共实数根，求$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}$的值 ——关联： 求值9-韦达定理、对称思想、不变量思想（退化方程）、知识/初中/代数/多项式/求值问题/求值问题🔺 ——质量高，内涵丰富，值得深入思考、讨论。用到多项式、二次方程（非硬性基础）。轻竞赛，略难。 ——链接：全国初中数学竞赛题 〚新思维9.1-15〛☆☆🏅

求$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}$的值

方法1，转化代入

1. 相加：$(a+b+c)(x^2+x+1)=0$ 因为：$x^2+x+1>0$ 所以： $a+b+c=0$ 且当：$a+b+c=0$时，方程有解：x=1，符合要求
2. 将 $a=-b-c$ 代入 $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}$ $=\frac{(-b-c{)}^2}{bc}+\frac{1}{a}(\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{b})$ $=\frac{(-b-c{)}^2}{bc}+\frac{1}{-b-c}\frac{b^3+c^3}{bc}$ $=\frac{(-b-c{)}^2}{bc}-\frac{1}{b+c}\frac{(b+c)(b^2-ab+c^2)}{bc}$ $=3$

方法2，构造法

目标转化：$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

构造：$(a+b+c{)}^3=0$，并进一步分析如下 $a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+6abc=0$ $a^3+b^3+c^3+3a^2(-a)+3b^2(-b)+3c^2(-c)+6abc=0$ $-2(a^3+b^3+c^3)+6abc=0$ $a^3+b^3+c^3=3abc$

故：$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$

方法3，特征值

让 $a=1，b=1，c=-2$ 有 $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{1}{-2}+\frac{4}{1}+\frac{1}{-2}=3$

题解分析 -“求值问题”解题思想

1. 得到 $a+b+c=0$ 体现了 已知转化 已知给的是一些复杂的信息 从中我们转化得到更精炼的信息 体现了 约束表达 的底层思想
2. 将 $a=-b-c$ 代入 是 [[信息代入]] 的直接体现 看似简单、直接、粗暴，实则有效、实用；是求值问题绕不开的核心 首先：认清“代入”的必要性、不可替代性 其次：避免计算恐惧，害怕计算复杂以致认为这不算一个“方法” 再次：另一面，不能过于在乎“巧妙、巧算、巧解” ——巧妙的方法，如同巧算 ——在学习中鼓励；在考试中，水到渠成，有便有，没有便用一般方法。 ——要理解，“正常代入”看似笨拙，实则本质，能解决很多我们认为特别难的问题。
3. 分析 $(a+b+c{)}^3=0$ 是 [[构造思想]] 的体现 这是求值问题不常用，但很体现实力的方法 这个方法 更底层的逻辑是 链接思维 ——即：在已知、未知之间建立关系 ——通过一个构造并分析一个恒等式，建立关系
4. 让 $a=1，b=1，c=-2$，这一步体现“特征值”思想

题解分析 - 解题中的能力细节

1. 对称方程的应用，是一个难点 $a{x}^2+bx+c=0，b{x}^2+cx+a=0，c{x}^2+ax+b=0$ 单看每个方程，是普通的 所有方程的和、积，则有机会抹平每个方程的不平衡，从而得到一个“规则的”的信息。这是对称方程的一个处理思想。 这个思想成立的原因在于，规则意味着简化，意味着特征信息，自然是对解题有益。
2. 不变量思想（退化方程） 若对信息的退化有所理解，更有利于上一步的顺利完成
3. 信息代入中 $=\frac{(-b-c{)}^2}{bc}+\frac{1}{a}(\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{b})$ 后两项合并处理，首先简化了信息代入，即少代入一次 同时，给后续巧算带来发挥空间 $\frac{1}{-b-c}\frac{b^3+c^3}{bc}-\frac{1}{b+c}\frac{(b+c)(b^2-ab+c^2)}{bc}$ 这一步通过因式分解简化大大减少了计算量
4. 构造法中 $3a^2(-a)+3b^2(-b)+3c^2(-c)$ 体现对信息 $a+b+c=0$ 的反复使用，这是常见的操作 但并非天然就了解的方法。需要琢磨、掌握、以形成习惯。

附注

创建时间： 2026-02-10 22:16 👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺