题目
两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定,另一枚沿其圆周滚动。
(1)当滚动的硬币滚过固定硬币的一圈回到起点的位置时，那么滚动的硬币自转了多少周？
(2)小思同学在完成第(1)小题后，有一个想法：如果两个圆的大小不同，且固定圆半径是滚动圆半径的7倍。当滚动圆滚过固定圆的一圈回到起点的位置时，那么滚动圆自转了多少周？
(3)老师又提出了一种情况，如果两个圆的大小不同，且固定圆半径是滚动圆半径的11倍，当滚动圆在固定圆内部滚过一圈回到起点的位置时，那么滚动圆自转了多少周？
归属：圆与扇形
——重复 〚市北6-4.1-t5〛
年级：6年级
解答
题解（以第2问为例）
- 小圆滚动1圈，在大圆上移动的角度是：360÷7≈51.5°
- 小圆滚动2圈，在大圆上移动的角度是：360÷7≈102.9°
- 小圆滚动2圈，在大圆上移动的角度是：360÷7≈154.3°
如图所示
- 易得： ——小圆上任意一点，实际转动的角度，比滚动产生的度数总是多一些 ——这个多出来的角度，就是在大圆上滚动的角度 ——因此，小圆回到起点后，小圆上的任意一点正好多滚动了360°，即1圈
- 答：如果半径是7倍关系，那么小圆会自转7+1=8圈 ——其他倍数关系依此类推
解析
- 这道题，半径相等、半径2倍，都相对好分析；半径7倍，需要更好逻辑能力。 ——最初，可以从相等、2倍入手 ——360是1、2、3、4、5、6的倍数但不是7的倍数，7较难处理。
- 数学表达
- “滚动”是一个语文表达，需要做个翻译，翻译成数学语言的表达 ——滚动，即：两个圆的接触处，各自的长度相等
- “自转”也是一个语文表达，数学表达是 ——圆上（任意）一点，围绕它自己的圆心转了多少圈
- 以上两点，我们可以说理解，但清晰的理解是解题关键 ——仔细的分析第一条滚动；然后分析“滚动”中产生的“自转”
- ※ 规则化公式化
- 如果滚动圆在固定圆的外面，那么
- 如果固定圆半径是滚动圆的1倍，那么小圆自转1+1=2圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的2倍，那么小圆自转2+1=3圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的7倍，那么小圆自转7+1=8圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的100倍，那么小圆自转100+1=101圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的1/2倍，那么小圆自转1/2+1=3/2圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的1/3倍，那么小圆自转1/3+1=4/3圈
- 如果滚动圆在固定圆的内部，那么
- 如果固定圆半径是滚动圆的2倍，那么小圆自转2-1=1圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的7倍，那么小圆自转7-1=8圈
- 以下是更有趣的结论
- 如果固定圆半径是滚动圆的1.1倍，那么小圆自转1.1-1=0.1圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的1.01倍，那么小圆自转1.01-1=0.01圈
- 如果固定圆半径是滚动圆的1倍，那么小圆自转1-1=0圈(不动)
- 如果固定圆半径是滚动圆的0.5倍，那么小圆自转0.5-1=-0.5圈（倒转半圈）
- 以上作为练习，可以做一下推理验证； ——但，基于数学上的“连续性”，有理由相信这些结论正确 ——这正是数学的力量所在
- 降维简化 简化思维，是数学的基础思维方式 这道题的解题思路，体现为： 研究一个圆转动的情况，圆是一条钱，是1维的图形； 我们可以简化为研究圆上的一个点，点是0维的，更简单。 这就降低了问题的分析难度，分析思路和方法都更清晰一些。 非常类似的（降维简化）的应用，还有：火车桥梁问题 火车齐头并进，到尾部对齐，会如何？ 火车头部相遇，到尾部离开，会如何？ 火车通过桥梁会如何？ ——这些问题，火车是个线段，有长度 ——此时，用火车头上的司机，这是一个点，来分析问题，容易清晰起来
- ※ 深入理解-底层逻辑
如何理解这道题背后的道理？
——简单看，很容易相乘，滚了几圈就是转了几圈。为何不是这样？
根本原因，是含义的不同
——滚动，是圆相对于另一个圆的运动；转动，是圆自身的运动
——两者容易混淆，但的确不一样。
——这是数学题，也是经典物理题。6年级没有学过物理碰到困难，正常。
直接原因，是
——滚动圆滚动产生自转，包含2部分，
——其一，是原地不动得滚动，产生自转；
——其二，自身位置得变化，也产生自转；如图所示
- 小结 做题可做的事情
- 清晰的解题的方法或思路——对解类似题目有用
- ※ 规则化公式化的结论——快速的解类似的题，以及进一步的更复杂题目中应用
- 体现的基础数学思维——有利于更广泛题目的求解，特别是无固定方法的时候
- 题目体现的※ 深入理解-底层逻辑——深入理解知识必须的，也是进一步灵活应用的前提。可能这才是真正的（能用的）知识。
附注
