〚新思路8上-16.2(1)-9〛根式化简💯⭐⭐

题目

• $化简：\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}}$

解答

思路方法1——📝因式分解 > 构造法

• $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}}$
• $=\sqrt{\frac{n^2(n+1{)}^2+(n+1{)}^2+n^2}{n^2(n+1{)}^2}}$
• $=\frac{\sqrt{n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{(n^2+n+1{)}^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$

思路方法2——中间结果不计算

• $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}}$
• $=\frac{\sqrt{n^2(n+1{)}^2+(n+1{)}^2+n^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{n^2(n+1{)}^2+n^2+2n+1+n^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{n^2(n+1{)}^2+2n(n+1)+1}}{n(n+1)}$
• $=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$

思路方法3——对称简化

• $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}}$
• $=\frac{\sqrt{n^2(n+1{)}^2+(n+1{)}^2+n^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{(k-0.5{)}^2(k+0.5{)}^2+(k+0.5{)}^2+(k-0.5{)}^2}}{n(n+1)}（这里k=n+0.5）$
• $=\frac{\sqrt{(k^2-0.25{)}^2+2k^2+0.5}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{(k^2-0.25{)}^2+2(k^2-0.25)+1}}{n(n+1)}$
• $=\frac{\sqrt{(k^2-0.25+1{)}^2}}{n(n+1)}$
• $=\frac{k^2+0.75}{n(n+1)}$
• $=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$

从题目中学什么

※ 根式计算 > 较复杂根式化简题目

思路方法1，心理建设·探索-推进

• 其中一步 $=\frac{\sqrt{n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2}}{n(n+1)}$
• 从答案角度，这一行作用不大
• 依然保留，因为这是方法1的一个难点
• ——可能走到这一步就停止了
• 解题，不要有“毕其功于一役”的想法
• 不往前走，看不到更远的路
• 什么决定了我们的数学能力？ > 心理建设

思路方法1，技术难点是📝因式分解 > 构造法

• $n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1{)}^2$
• 这一步，怎么来的？
• 其一，1+2+3+2+1=9，9=3×3
  • ——故，这一般说明：结果是（□+□+□）×（□+□+□）样式
• 其二，$n^4=n^2\times n^2；1=1\times 1$
  • ——最高项、常数项确定
• 以上，基本可以直接得到答案：$(n^2+n+1{)}^2$
• 📝因式分解 > 构造法，其关键是：系数分析

思路方法2，关键在于保留 $n^2(n+1{)}^2$

• 保留的目的，是：后面可能整体直接利用
• 保留的最初原因，是：展开太麻烦
  • ——现有常见题目，一般都不用太麻烦
• 保留的有利条件，是：其他项与此项有相关性
• 以上，即所谓：中间结果不计算

思路方法3，来至于 数学表达 > 中值表达方式

• k=n+0.5，则：n=k-0.5，n+1=k+0.5
• 这个方法有趣在于
  • 用对称的形式体现了相差1这个信息
  • 新的对称属性，有机会带来计算上的简洁