题目

数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，请按从小到大的顺序排列： $a$ 、 $a$ 的相反数、 $a$ 的倒数和 $a$ 的倒数的绝对值

导引

有代表性的一道题思考：是否有不同的方法得到答案？

取 a=-0.8，有 $a = - 0.8 ， - a = 0.8 ， \frac{1}{a} = - 1.25 ， - \frac{1}{a} = 1.25$ 答案易得

如图，答案易得

已知： $- 1 < a < - 0.5$ （这里，0.5 不严谨）故： $\frac{1}{a} < - 1$ 故： $- \frac{1}{a} > 1$ 故： $0.5 < a < 1$

从小到大排列为 $\frac{1}{a} < a < - a < \frac{1}{a}$ （书上解答）

书上分析： $a$ 的相反数是 $- a$ ， $a$ 的倒数是 $\frac{1}{a}$ ， $a$ 的倒数的绝对值是 $\frac{1}{a}$ ．在数轴上描点，通过数轴上点的位置比较大小．

书上解：如图 1-3，描出各点．把这些数按从小到大的顺序排列起来是： $\frac{1}{a} < a < - a < \frac{1}{a}$ ．

解读

由图知 $- 1 < a < 0$ ，不妨取 $a = - 0.5$ 验证： $\frac{1}{a} = - 2$ ， $a = - 0.5$ ， $- a = 0.5$ ， $\frac{1}{a} = 2$ ，确实 $- 2 < - 0.5 < 0.5 < 2$ ；
关键结论：真分数（绝对值小于 $1$ 的非零数）的倒数，其绝对值反而大于 $1$ ，所以 $\frac{1}{a} > 1 > ∣ a ∣$ ，两端被 $\frac{1}{a}$ 与 $\frac{1}{a}$ 占据；
负数在左、正数在右，数轴上”左小右大”．

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书上解答：