〚新思路(3)-6.1.2-12〛

题目

对于 $n$ 个正整数 $1,2,3,4,\cdots ,n$，在每个正整数前面添加正负号，并进行求和，可以得到不同的运算结果．

（1）当 $n=2024$ 时，所有运算结果中绝对值最小是多少？

（2）如果 $n=2023$，$2025$，$2026$ 呢？

（3）对于不同的 $n$，所有运算结果中绝对值最小是多少？

导引

解答

（1）$0$；（2）$n=2023$ 时为 $0$，$n=2025$ 时为 $1$，$n=2026$ 时为 $1$；（3）当 $n=4k$ 或 $n=4k+3$（$k$ 为正整数）时最小是 $0$，当 $n=4k+1$ 或 $n=4k+2$（$k$ 为正整数）时最小是 $1$（书后参考答案，详见答案截图）

解读

• 关键事实：给和 $S$ 中某一个数改变符号，$S$ 就减少该数的 $2$ 倍，所以无论怎么添号，结果的奇偶性与 $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 相同；
• 连续 4 个正整数可以配平：$1-2-3+4=0$，故每 4 个连续数一组可凑成 $0$；
• （1）$2024=4\times 506$，全部配平，最小绝对值为 $0$；
• （2）① $n=2023=4\times 505+3$：除前 3 个数外其余配平，而 $1+2-3=0$，所以最小绝对值仍为 $0$；② $n=2025$：$\frac{2025\times 2026}{2}$ 为奇数，结果只能是奇数，绝对值最小为 $1$（除 1 外其余 2024 个数凑成 $0$，剩 $\pm 1$）；③ $n=2026$：和同样是奇数，除前 2 个数外其余凑成 $0$，而 $|1-2|=1$，最小绝对值为 $1$；
• （3）按 $n$ 除以 $4$ 的余数归纳：余 $0$（$n=4k$）或余 $3$（$n=4k+3$）时 $\frac{n(n+1)}{2}$ 为偶数，最小绝对值 $0$；余 $1$ 或余 $2$ 时为奇数，最小绝对值 $1$；
• 易错点：只顾凑 $0$ 而忘记先用奇偶性说明”能不能取到 $0$”；$n=4k+1$、$4k+2$ 时无论怎么添号都得不到 $0$．

解析

附注

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书后答案：