〚新思路(3)-6.1.3-10〛

题目

计算：$\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \left(1+\frac{1}{3}\right)\times \left(1+\frac{1}{4}\right)\times \cdots \times \left(1+\frac{1}{2024}\right)\times \left(\frac{1}{2}-1\right)\times \left(\frac{1}{3}-1\right)\times \left(\frac{1}{4}-1\right)\times \cdots \times \left(\frac{1}{2025}-1\right)$．

导引

解答

$\frac{1}{2}$（书后参考答案）

书后提示：原式 $=\frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \cdots \times \frac{2025}{2024}\times \left(-\frac{1}{2}\right)\times \left(-\frac{2}{3}\right)\times \left(-\frac{3}{4}\right)\times \cdots \times \left(-\frac{2024}{2025}\right)=\frac{2025}{2}\times \frac{1}{2025}=\frac{1}{2}$．

解读

• 前半段：$1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$，从 $n=2$ 到 $2024$，连乘时分子分母依次相消，只剩首分子 $2025$ 和尾分母 $2$，得 $\frac{2025}{2}$；
• 后半段：$\frac{1}{n}-1=-\frac{n-1}{n}$，从 $n=2$ 到 $2025$，共 $2024$ 个负因数（偶数个），积为正；分数部分连乘 $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \cdots \times \frac{2024}{2025}$ 相消后得 $\frac{1}{2025}$；
• 合并：$\frac{2025}{2}\times \frac{1}{2025}=\frac{1}{2}$；
• 易错点：数错负因数个数——后半段从 $\frac{1}{2}-1$ 到 $\frac{1}{2025}-1$ 共 $2024$ 项（不是 $2025$ 项），偶数个负号才消干净；两段相消的区间不同（前半段止于 $2024$，后半段止于 $2025$），不能想当然．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：