〚新思路(3)-6.1.4-e3〛

题目

某二维码是一个 $32\times 32$ 的点阵，每个点有黑白两个状态，该二维码共有多少种不一样的状态？（不考虑旋转的问题，结果可用幂的形式表示）这个数据与 $10^{100}$ 谁更大？

导引

解答

共有 $2^{1024}$ 种不一样的状态，且 $2^{1024}>1000^{100}>10^{100}$，二维码的不同状态数大于 $10^{100}$（书上解答）

书上分析：二维码在生活中很常见，很多人会担心二维码是否会用完，我们通过有理数乘方运算进行表示，可以对数据进行大致估算．

书上解：$32\times 32=1024$．

所以总共有 $2^{1024}$ 种不一样的状态．

因为 $2^{10}=1024$，

所以 $2^{1024}=2^{1000+24}=2^{1000}\times 2^{24}=\underset{100\text{个}{2}^{10}}{\underbrace{2^{10}\times 2^{10}\times \cdots \times 2^{10}}}\times 2^{24}=1024^{100}\times 2^{24}>1000^{100}>10^{100}$．

所以二维码的不同状态数大于 $10^{100}$．

书上说明：$2^{1000}$ 表示 $1000$ 个 $2$ 相乘，利用乘法结合律可转化为 $100$ 个 $2^{10}$ 相乘．

解读

• 每个点有 $2$ 种状态，$32\times 32=1024$ 个点，由乘法原理共有 $2^{1024}$ 种状态（初中阶段只要求写出幂的形式）；
• 比较大小的方法：把 $2^{1024}$ 拆成 $2^{1000}\times 2^{24}$，再把 $2^{1000}=(2^{10}{)}^{100}=1024^{100}$，这样与 $10^{100}$（即 $(10{)}^{100}$，也可放大为 $1000^{100}$）化为同指数 $100$ 的幂，只需比较底数：$1024>1000>10$；
• 易错点：$10^{100}$ 与 $1000^{100}$ 的关系是 $1000^{100}=(10^3{)}^{100}=10^{300}>10^{100}$，用它做中间量放大更直观；
• 结论：二维码状态数极其巨大，远超 $10^{100}$，“二维码会用完”的担心在数量级上是不必要的．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书上解答：