〚新思路(3)-6.1.5-10〛

题目

阅读材料：

计算：$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{19\times 20}$．小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．解法如下所示： $原式=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}.$

根据阅读材料，请解决下列问题：

（1）计算：$\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+\frac{2}{5\times 7}+\cdots +\frac{2}{21\times 23}$；

（2）计算：$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}$；

（3）计算：$\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\cdots +\frac{1}{2021\times 2025}$．

导引

解答

（1）$\frac{22}{23}$；（2）$\frac{5}{11}$；（3）$\frac{506}{2025}$（书后参考答案）

解读

• 核心技巧（裂项）：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$，裂开后中间项正负抵消，只剩首尾；
• （1）$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，故原式 $=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{21}-\frac{1}{23}\right)=1-\frac{1}{23}=\frac{22}{23}$；
• （2）各分母分解：$\frac{1}{3}=\frac{1}{1\times 3}$，$\frac{1}{15}=\frac{1}{3\times 5}$，$\frac{1}{35}=\frac{1}{5\times 7}$，$\frac{1}{63}=\frac{1}{7\times 9}$，$\frac{1}{99}=\frac{1}{9\times 11}$；每项裂为 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$，故原式 $=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)=\frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{10}{11}=\frac{5}{11}$；
• （3）相邻分母相差 $4$：$\frac{1}{n(n+4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+4}\right)$，故原式 $=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{2021}-\frac{1}{2025}\right)=\frac{1}{4}\times \left(1-\frac{1}{2025}\right)=\frac{1}{4}\times \frac{2024}{2025}=\frac{506}{2025}$；
• 易错点：裂项系数是”分母两因数之差的倒数”，（2）（3）不要漏乘 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$；最后一项保留的是 $\frac{1}{n+k}$ 而不是 $1$．

解析

附注

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书后答案：