〚新思路(3)-6.1.5-11〛

题目

定义新计算：$⟨2⟩=1\times 2\times 3$，$⟨3⟩=2\times 3\times 4$，$⟨4⟩=3\times 4\times 5$，$⟨5⟩=4\times 5\times 6$，…．已知 $\frac{1}{⟨6⟩}-\frac{1}{⟨7⟩}=\frac{1}{⟨7⟩}\times A$，求 $A$ 的值．

导引

解答

$A=\frac{3}{5}$（书后参考答案）

解读

• 由定义：$⟨n⟩=(n-1)\times n\times (n+1)$（三个连续整数之积）；
• 所以 $⟨6⟩=5\times 6\times 7$，$⟨7⟩=6\times 7\times 8$；
• 通分相减：$\frac{1}{⟨6⟩}-\frac{1}{⟨7⟩}=\frac{1}{5\times 6\times 7}-\frac{1}{6\times 7\times 8}=\frac{8-5}{5\times 6\times 7\times 8}=\frac{3}{5\times 6\times 7\times 8}$；
• 而 $\frac{1}{⟨7⟩}\times A=\frac{A}{6\times 7\times 8}$，所以 $\frac{A}{6\times 7\times 8}=\frac{3}{5\times 6\times 7\times 8}$，得 $A=\frac{3}{5}$；
• 快捷思路：$\frac{1}{⟨6⟩}-\frac{1}{⟨7⟩}=\frac{1}{6\times 7}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{6\times 7}\times \frac{3}{40}$，而 $\frac{1}{⟨7⟩}=\frac{1}{6\times 7}\times \frac{1}{8}$，故 $A=\frac{3}{40}÷\frac{1}{8}=\frac{3}{5}$；
• 易错点：先按定义正确写出 $⟨6⟩,⟨7⟩$（注意 $⟨6⟩$ 从 $5$ 开始乘），再整体代换．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：