〚新思路(3)-6.1.6-22〛

题目

22. 如图，$A$，$B$，$C$ 是数轴上的三点，点 $C$ 所表示的数为 $6$．点 $B$ 在点 $C$ 的左侧，点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，$BC=4$，$AB=12$．

（数轴：向右为正方向，原点 $O$ 处标 $0$，点 $C$ 位于 $6$ 处；$B$ 在 $C$ 左侧相距 $4$（即表示 $2$），$A$ 在 $B$ 左侧相距 $12$（即表示 $-10$）．）（第 22 题）

（1）求点 $A$，$B$ 所表示的数； （2）点 $P$ 从点 $A$ 出发，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，两点同时出发，点 $P$，$Q$ 分别以每秒 $6$ 个单位长度和 $3$ 个单位长度的速度沿数轴的正方向运动．$M$ 为线段 $AP$ 的中点，点 $N$ 在线段 $CQ$ 上，且 $CN=\frac{1}{3}CQ$，设运动时间为 $t\mathrm{s}(t>0)$． ① 求点 $M$，$N$ 所表示的数；（用含 $t$ 的式子表示） ② 当 $t$ 为何值时，$OM=2BN$？

导引

解答

（1）点 $A$ 表示的数为 $-10$，点 $B$ 表示的数为 $2$；（2）① 点 $M$ 表示的数为 $-10+3t$，点 $N$ 表示的数为 $6+t$；② $t$ 为 $18$ 或 $0.4$ 时，$OM=2BN$（书后参考答案）

解读

• （1）$B$ 在 $C$ 左侧 $4$ 个单位：$6-4=2$；$A$ 在 $B$ 左侧 $12$ 个单位：$2-12=-10$；
• （2）① $t$ 秒后 $P=-10+6t$，$Q=6+3t$； $M$ 是 $AP$ 中点：$M=\frac{-10+(-10+6t)}{2}=-10+3t$； $CN=\frac{1}{3}CQ=\frac{1}{3}\times 3t=t$，所以 $N=6+t$；
• （2）② $OM=|-10+3t|$，$BN=|(6+t)-2|=t+4$，方程 $|-10+3t|=2(t+4)$：
  • 当 $t⩾\frac{10}{3}$ 时，$3t-10=2t+8$，解得 $t=18$；
  • 当 $0<t<\frac{10}{3}$ 时，$10-3t=2t+8$，解得 $t=0.4$； 所以 $t=18$ 或 $t=0.4$；
• 易错点：$OM$、$BN$ 都是距离，必须加绝对值；$P$ 可能在原点左侧或右侧，要分两类讨论；$N$ 的坐标可直接用”起点 $+$ 所占比例 $\times$ 路程”写出．

解析

附注

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书后答案：