〚新思路(3)-6.1.6-24〛

题目

24. 观察下列各等式： ① $1^2+(1\times 2{)}^2+2^2=(1\times 2+1{)}^2$； ② $2^2+(2\times 3{)}^2+3^2=(2\times 3+1{)}^2$； ③ $3^2+(3\times 4{)}^2+4^2=(3\times 4+1{)}^2$； …… 根据以上规律，回答下列问题： （1）写出第 $2023$ 个等式； （2）写出第 $n$ 个等式．

导引

解答

（1）$2023^2+(2023\times 2024{)}^2+2024^2=(2023\times 2024+1{)}^2$；（2）$n^2+[n(n+1){]}^2+(n+1{)}^2=(n^2+n+1{)}^2$（书后参考答案）

解读

• 第 $n$ 个等式：左边是 $n^2$、$[n(n+1){]}^2$、$(n+1{)}^2$ 三项之和，右边是 $[n(n+1)+1{]}^2=(n^2+n+1{)}^2$；
• 恒等性验证：$[n(n+1)+1{]}^2=(n^2+n{)}^2+2(n^2+n)+1=n^2(n+1{)}^2+\underset{n^2+(n+1{)}^2}{\underbrace{(2n^2+2n+1)}}$，展开后左右恰好相等；
• 用特例检验：$n=3$ 时 $9+144+16=169=13^2$ ✓；
• 易错点：第 $2023$ 个等式中 $n=2023$，“相邻两数之积”是 $2023\times 2024$，不要顺手写成 $2024\times 2025$．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：