〚新思路3-15.1(1)-e1〛不等式的奇怪解法

题目

求不等式 $2(x-2)\le x-2$ 的非负整数解 ——关联： 解不等式、特征思想、参数不等式、※ 蹩脚的方法 ——简单问题的有趣讨论，可以利用特征优化求解；可以利用参数思想“蹩脚”求解 ——第一个变化方法，是优化求解，利用特征简化求解过程。很小的改进，但体现特征信息的价值。 ——第二个变化方法，是蹩脚方法，用参数方法求解。蹩脚的价值，在于充分体现方法本身的核心思想 ——链接： 〚新思路3-15.1(1)-e1〛不等式的奇怪解法

创建时间： 2026-02-03 21:32

解答1，最普通解法

$2(x-2)\le x-2$ $2x-4\le x-2$ $2x-x\le -2+4$ $x\le 2$

解答2，小的变通-发现特征、利用特征

$2(x-2)\le x-2$ $(x-2)\le 0$ $x\le 2$

解答3，奇怪的方法

起源是一个学生ZZ说：为什么不两边同除…？ ——刚刚做了两道含参数不等式，学生对“同除一个多项式”记忆犹新 ——因此，有了这个想法 既如此，我们完成了这个想法 ——很复杂、很蹩脚 ——但，对不等式的理解瞬间加深

期望 $2(x-2)\le x-2$ 两边同除 $(x-2)$，从而需要分类讨论 $\{\begin{array}{c}x-2<0\\ 2\ge 1\end{array}\{\begin{array}{c}x-2=0\\ 0\le 0\end{array}\{\begin{array}{c}x-2>0\\ 2\le 1\end{array}$ 以上，第一个不等式组，解集：$x<2$ 以上，第二个不等式组，解集：$x=2$ 以上，第三个不等式组，解集：无解

综合，不等式 $2(x-2)\le x-2$ 的解集：$x\le 2$

注：

1. 这里不是同除“参数多项式”，而是含x多项式，但不妨碍成立
2. 第一个情况中，$2\ge 1$ 是原不等式同除 $(x-2)$的结果 ——这依然是个不等式，她的解集是：x=任意数 ——分类讨论的条件 $x-2<0$ ，解集是：x<2 ——综合解集：$x<2$
3. 第二个情况 ——“$x-2-0$”，解集是：x=2 ——“$0\le 0$”，解集是：x=任意数 ——综合解集：x=2
4. 第三个情况 ——“$x-2>0$”,解集是：$x>2$ ——“$2\le 1$”，解集是：空 ——综合解集：空
5. 蹩脚方法的价值，在于充分体现方法本身的核心思想
6. 特别的 ——分类之间是“or”的关系 ——不等式组之间，是“and”的关系

附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺