〚261101-2〛☆☆☆🙇

题目

已知三个不同实数 a、b、c 满足 $a-b+c=3$， 关于x的方程 $x^2+ax+1=0$ 和 $x^2+bx+c=0$ 有⼀个相同的实数根， 关于x的方程 $x^2+x+a=0$ 和 $x^2+cx+b=0$ 也有⼀个相同的实数根， 求 $a+b+c$       

导引

※ 根与系数综合题、※ 题干信息数学化、※ 方程实现复杂逻辑表达的一致性、※ 代数特征、※ 根与系数De三种关系、※ 复杂方程组、※ 不起眼的约束

解答

写在前面

二次方程是初中代数的核心内容之一 根与系数关系，又是二次方程中最重要的内容 这道题，是有些难度，也不同于韦达定理的根与系数关系

另外，题目还涉及

1. 综合题目对题干的解读至关重要；
2. 对解方程能力也有较高要求；
3. 改进的解法中，还深刻体现了“特征”的信息价值。
4. 等等 这些，即是题目的难点，也是题目的价值点

有价值的解题方法

1. 第一个约束（方程）：$a-b+c=3$
2. 第二个约束（方程）：$(c-1{)}^2+a(a-b)(c-1)+(a-b{)}^2=0$ 来自于$\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+1=0\\ x^2+bx+c=0\end{array}$ 消去x
3. 第三个约束（方程）：$(a-b{)}^2+(a-b)(c-1)+a(c-1{)}^2=0$ 来自于$\{\begin{array}{l}{x}^2+x+a=0\\ x^2+cx+b=0\end{array}$ 消去x
4. 解方程组$\{\begin{array}{l}a-b+c=3\\ (c-1{)}^2+a(a-b)(c-1)+(a-b{)}^2=0\\ (a-b{)}^2+(a-b)(c-1)+a(c-1{)}^2=0\end{array}$ 得解 $a=-2，b=-3，c=2$

这个方法有价值的点在于：思路极其简洁 ——根据约束提取方程，再无其他乱七八糟的东西

稍微技巧一下的方法

1. 根据 $\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+1=0\\ x^2+bx+c=0\end{array}$ 的公共解 $x=\frac{c-1}{a-b}$
2. 根据 $\{\begin{array}{l}{x}^2+x+a=0\\ x^2+cx+b=0\end{array}$ 得公共解 $x=\frac{a-b}{c-1}$
3. 故，第二组方程x取倒数，与第一组方程同解，即： $\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+1=0\\ x^2+bx+c=0\\ (\frac{1}{x}{)}^2+(\frac{1}{x})+a=0\\ (\frac{1}{x}{)}^2+c(\frac{1}{x})+b=0\end{array}$ 即 $\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+1=0\\ x^2+bx+c=0\\ a{x}^2+x+1=0\\ b{x}^2+cx+1=0\end{array}$
4. 用“方程③-方程①”，可得 $(a-1)x^2+(1-a)x=0$ 从而 $x=1$
5. 代入方程组，易得关于a、b、c的简单关系 从而 a、b、c可求

有可能的不好思路

1. 其一 根据题目中有一个共同解 得到：$x^2+ax+1=x^2+bx+c$，即 $ax+1=bx+c$ 同理，得到 $x+a=cx+b$ 然后陷入困境
2. 其二，得到$\{\begin{array}{l}a-b+c=3\\ x^2+ax+1=0\\ x^2+bx+c=0\\ x^2+x+a=0\\ x^2+cx+b=0\end{array}$ 然后陷入困境
3. 以上 第一个，正确，但没有清晰的解读约束，丢掉了信息 第二个，错误，两个共同解，本身并不相同

题目背后的基础数学思想

👉※ 题干信息数学化

题目中：关于x的方程 $x^2+ax+1=0$ 和 $x^2+bx+c=0$ 有⼀个相同的实数根 表面看，是非常“数学”的一句话 实际上，并非我们要的 数学表达 依然需要翻译，翻译成“纯数学”的表达

翻译1：存在m，满足 $\{\begin{array}{l}{m}^2+am+1=0\\ m^2+bm+c=0\end{array}$ 翻译2：$(c-1{)}^2+a(a-b)(c-1)+(a-b{)}^2=0$

第2个翻译，丢失了一些信息（关于公共解m的信息），但不影响求a、b、c 第1个翻译，得到的解题方法是：解五元方程组

\\ m^2+am+1=0 \\ m^2+bm+c=0 \\ n^2+an+1=0 \\ n^2+bn+c=0 \end{cases}$$ 两个翻译，大同小异 无论那个，都是解题的关键点 ### 👉[[※ 方程实现复杂逻辑表达的一致性]] 影响这道题解题的还有一个点，是最起始的思路 即：如何想到是要解方程？如何避免被“韦达定理”等思想带偏？ 这需要我们建立对“方程”的充分认知 方程，可能是对绝大部分题目都有利无害的思维方式 一方面，可以准确表达出题目的约束 另一方面，让所有约束信息的表达变得规整、统一——这大大有利于进一步的组合分析和推理。 ### 👉[[※ 复杂方程组]] 本题方程组求解略考验计算能力。要有清晰的消元思想，以及消元后，哪些方程需要保留。参考草稿： * ![[8bbeead332f32bce8be448517e107ecd.jpg|360]] ### 👉[[※ 不起眼的约束]] 题目中提到“三个不同的实数a、b、c” 若忽略“不同”二字，方程求解的顺畅度也会受影响 这也是基础的数学能力之一 ### 👉[[※ 代数特征]] 改进的解法，其计算量更低 这个解法，关键在于：$\begin{cases} x^2+ax+1=0 \\ x^2+bx+c=0 \\ (\frac{1}{x})^2+(\frac{1}{x})+a=0 \\ (\frac{1}{x})^2+c(\frac{1}{x})+b=0 \end{cases}$ 这个解法，这个方程，如何发现？ 关键在于看到：两个公共解 $x=\dfrac{c-1}{a-b}$ 和 $x=\dfrac{a-b}{c-1}$ 具有明显的倒数特征 这个解法，还有一个更直接，也更考验特征能力的来源 1. 根据 $\begin{cases} x^2+ax+1=0 \\ x^2+bx+c=0\end{cases}$ 2. 根据 $\begin{cases} x^2+x+a=0 \\ x^2+cx+b=0\end{cases}$ 这两组方程之间，也有明显的特征信息 ——第一组系数：（1，a，1，1，b，c） ——第二组系数：（1，1，a，1，c，b） 发现特征、利用特征的能力，一方面让解题更漂亮，另一方面这个能力与提取隐含约束的能力一致，而后者不再是锦上添花而是必要的解题依靠。 利用 [[※ 代数特征]] 提高解题质量，反应解题中的 [[※ 守正出奇]] ，不能直接强求，但坚持锻炼，拥有了就很舒服。 # 解析 # 附注 ☆☆☆☆💯📋🏅✎👍🙇（必做好题、知识类、详细解读、一般练习、拓展思考） ![[261101-1.png]]