题目

已知 $2 a = 2 - 3$ ，求 $\frac{a}{1 - a ^{2}} + \frac{1 - a ^{2}}{a}$ 的值．

导引

由题意，得 $a^{2} = \frac{2 - 3}{4}$ ，原式 $= \frac{a ^{2} + ( 1 - a ^{2} )}{a 1 - a ^{2}} = \frac{1}{a ^{2} ( 1 - a ^{2} )} = 4$ （书后参考答案）

解读

由 $2 a = 2 - 3$ 两边平方得 $a^{2} = \frac{2 - 3}{4}$ ，于是 $1 - a^{2} = \frac{2 + 3}{4}$ ；
$a^{2} (1 - a^{2}) = \frac{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )}{16} = \frac{4 - 3}{16} = \frac{1}{16}$ ，又 $a > 0$ ，故 $a 1 - a^{2} = \frac{1}{4}$ ；
原式 $= \frac{a ^{2} + ( 1 - a ^{2} )}{a 1 - a ^{2}} = \frac{1}{1/4} = 4$ ；
易错：先对 $a$ 开方再代入，运算冗长易错；关键是把 $\frac{a}{1 - a ^{2}} + \frac{1 - a ^{2}}{a}$ 通分成 $\frac{1}{a 1 - a ^{2}}$ 的整体结构．

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书后答案：