〚新思路8.20-复习-26〛☆📋

题目

求 $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots }}}}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}}}$ 的值．

导引

解答

设 $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots }}}}}}=x$，则 $2x=x^2$，解得 $x=2$（$x=0$ 舍去）；设 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}}}=y$，则 $2+y=y^2$，解得 $y=2$（$y=-1$ 舍去）．所以，原式 $=2-2=0$（书后参考答案）

解读

• “无限嵌套”的本质是自相似：去掉最外层根号后，剩余部分与原式相同；
• 第一个根式满足 $x=\sqrt{2x}$，平方得 $x^2=2x$，$x=2$（$x=0$ 不合题意，舍去）；
• 第二个根式满足 $y=\sqrt{2+y}$，平方得 $y^2=y+2$，$y=2$ 或 $y=-1$（负值舍去）；
• 原式 $=2-2=0$；
• 易错：把 $x=\sqrt{2x}$ 写成 $x=2x$；解出两个根后不检验（$x=0$、$y=-1$ 均不符合根式的实际取值）．

解析

附注

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书后答案：