题目

已知 $(1 + a^{2} + a) (1 + b^{2} + b) = 1$ ，试求 $a$ ， $b$ 之间的（简单）关系式．

导引

由题意，得 $1 + a^{2} + a = 1 + b^{2} - b$ ， $1 + a^{2} - a = 1 + b^{2} + b$ ，两式相减，得 $a + b = 0$ （书后参考答案）

解读

关键恒等式： $(1 + t^{2} + t) (1 + t^{2} - t) = 1$ ，即两共轭因式互为倒数；
由条件 $1 + a^{2} + a = \frac{1}{1 + b ^{2} + b} = 1 + b^{2} - b$ （取倒数即有理化）；
又 $(1 + a^{2} + a) (1 + a^{2} - a) = 1$ ，故 $1 + a^{2} - a$ 也等于 $\frac{1}{1 + b ^{2} + b} = 1 + b^{2} + b$ ；
两式相减，根式部分 $1 + a^{2}$ 与 $1 + b^{2}$ 抵消方向相反： $2 a = - 2 b$ ，即 $a + b = 0$ ；
易错：直接两边平方会陷入高次根式运算；突破口是发现” $1 + t^{2} \pm t$ 之积恒为 $1$ “这一共轭结构．

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书后答案：