〚新思路8.20-阶段3-7〛

题目

计算： (1) $\sqrt{0.5}+\sqrt{32}-2\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{75}$； (2) $2\sqrt{25a}-3\sqrt{a^{2}b}+5\sqrt{36a}-2\sqrt{a^{2}b}$； (3) $(8\sqrt{21}÷\sqrt{15})\times (\sqrt{12}÷5\sqrt{6})$； (4) $3\sqrt{\frac{12}{x}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{xy}}÷\left(-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{18}{x{y}^3}}\right)$； (5) $\left(\sqrt{18}-4\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)÷\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})$； (6) $\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$； (7) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{15}-\sqrt{21}}{\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{15}+\sqrt{21}}$； (8) $\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}$．

导引

解答

(1) $\frac{17}{4}\sqrt{2}-\frac{17}{3}\sqrt{3}$　(2) $40\sqrt{a}-5a\sqrt{b}$　(3) $\frac{8}{25}\sqrt{70}$　(4) $-\frac{2y}{x}\sqrt{2x}$　(5) $9-\sqrt{6}$　(6) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$　(7) $2\sqrt{6}-5$　(8) $\frac{3}{7}$（书后参考答案）

解读

• (1)(2) 先化简每一项再合并同类二次根式：如 (1) 中 $\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$；
• (3)(4) 系数与被开方数分别乘除；(4) 中 $\sqrt{\frac{3}{xy}}$ 与 $\sqrt{\frac{18}{x{y}^3}}$ 相除时 $xy$ 约去只剩 $\frac{1}{\sqrt{6}}$，再与 $3\sqrt{\frac{12}{x}}$ 相乘并分母有理化；
• (5) 括号内 $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，化简后括号值为 $2\sqrt{2}+\sqrt{3}$；除以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 相当于乘 $\sqrt{3}$，得 $2\sqrt{6}+3$；而 $\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6$；相减得 $9-\sqrt{6}$；
• (6) 分子恰等于 $(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times$ 分母（展开 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2$，再乘 $(\sqrt{6}+\sqrt{3})$ 可验证），约分即得 $\sqrt{6}-\sqrt{2}$；
• (7) 分子分母分组提公因式：分子 $=(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$，分母 $=(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3})$，约分后 $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，再分母有理化得 $2\sqrt{6}-5$；
• (8) 一般项 $\frac{1}{(2k+1)\sqrt{2k-1}+(2k-1)\sqrt{2k+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}}\right)$（分母提出 $\sqrt{(2k-1)(2k+1)}$ 后裂项），$k=1$ 到 $24$ 裂项相消，和 $=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{7}$；
• 易错：(4) 除以负数结果带负号，别丢；(5) 运算顺序：先算括号、除法，再算减法；(8) 找不出通项规律时先算前两项寻找"$\frac{1}{2}(\cdots )$"的裂项模式．

解析

附注

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书后答案：