〚新思路8.20.1.1-11〛

题目

解方程：$|\sqrt{(x-2{)}^2}-1|=x$．

导引

解答

$x=\frac{1}{2}$（书后参考答案：当 $x>2$ 时，$x-2-1=x$ 或 $x-2-1=-x$，解得 $x=\frac{3}{2}$（舍）．当 $0⩽x⩽2$ 时，$2-x-1=x$ 或 $2-x-1=-x$，解得 $x=\frac{1}{2}$．所以原方程的根为 $x=\frac{1}{2}$）

解读

• 先化简根式：$\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$，方程即 $||x-2|-1|=x$；
• 右边 $x$ 是绝对值，隐含 $x⩾0$；按 $x-2$ 的符号分类：
  • 当 $x>2$：$|x-2|-1=x-3$，方程为 $|x-3|=x$，即 $x-3=x$（无解）或 $3-x=x\Rightarrow x=\frac{3}{2}$，与 $x>2$ 矛盾，舍；
  • 当 $0⩽x⩽2$：$|x-2|-1=2-x-1=1-x$，方程为 $|1-x|=x$，即 $1-x=x\Rightarrow x=\frac{1}{2}$（满足 $0⩽x⩽2$，取）或 $x-1=x$（无解）；
• 所以原方程的根为 $x=\frac{1}{2}$；
• 易错点：两层绝对值要逐层去掉，先 $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$，再按 $x$ 与 $2$ 的大小分类；求出的根必须代回检验是否落在所分类别内（$x=\frac{3}{2}$ 就是这样被舍去的）．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：