题目

已知 $y = 1 - 2 x + x^{2} + x^{2} - 4 x + 4 + 4 x^{2} + 4 x + 1$ ，试求使 $y$ 的值恒等于常数的 $x$ 的取值范围．

导引

解答

$y = (x - 1)^{2} + (x - 2)^{2} + (2 x + 1)^{2} = ∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 2 ∣ + ∣ 2 x + 1 ∣$ ．当 $x > 2$ 时，原式 $= 4 x - 2$ ；当 $1 < x ⩽ 2$ 时，原式 $= 2 x + 2$ ；当 $- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ 1$ 时，原式 $= 4$ ；当 $x < - \frac{1}{2}$ ，原式 $= 2 - 4 x$ ．所以，当 $- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ 1$ 时， $y$ 的值恒等于常数（书后参考答案）

解读

三个被开方数都是完全平方式： $1 - 2 x + x^{2} = (x - 1)^{2}$ ， $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ， $4 x^{2} + 4 x + 1 = (2 x + 1)^{2}$ ，故 $y = ∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 2 ∣ + ∣ 2 x + 1 ∣$ ；
零点为 $x = - \frac{1}{2}, 1, 2$ ，分四段去绝对值：
- $x > 2$ ： $(x - 1) + (x - 2) + (2 x + 1) = 4 x - 2$ （含 $x$ ，非常数）；
- $1 < x ⩽ 2$ ： $(x - 1) + (2 - x) + (2 x + 1) = 2 x + 2$ （非常数）；
- $- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ 1$ ： $(1 - x) + (2 - x) + (2 x + 1) = 4$ （常数！ $x$ 恰好消去）；
- $x < - \frac{1}{2}$ ： $(1 - x) + (2 - x) + (- 2 x - 1) = 2 - 4 x$ （非常数）；
所以当 $- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ 1$ 时， $y$ 恒等于常数 $4$ ；
易错点： $(2 x + 1)^{2} = ∣ 2 x + 1 ∣$ ，去绝对值时 $2 x + 1$ 在 $x < - \frac{1}{2}$ 段要变号；判断”恒等于常数”就是看化简后 $x$ 是否恰好消掉．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：

mathinkin

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〚新思路8.20.1.1-12〛

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