〚新思路8.20.1.1-13〛

题目

已知 $4\sqrt{x-1}+6\sqrt{y-2}-10=x+y$，求 ${\left(2x-y\right)}^{2026}$ 的值．

导引

解答

$x-1-4\sqrt{x-1}+4+y-2-6\sqrt{y-2}+9=0$，即 ${\left(\sqrt{x-1}-2\right)}^2+{\left(\sqrt{y-2}-3\right)}^2=0$，得 $x=5$，$y=11$．所以 ${\left(2x-y\right)}^{2026}=1$（书后参考答案）

解读

• 移项配方：$4\sqrt{x-1}+6\sqrt{y-2}-10-x-y=0$，把 $-10$ 拆成 $-4-6$，把 $x$ 写成 $(x-1)+1$、$y$ 写成 $(y-2)+2$： $\left[(x-1)-4\sqrt{x-1}+4\right]+\left[(y-2)-6\sqrt{y-2}+9\right]=0$
• 换元 $u=\sqrt{x-1}(⩾0)$，$v=\sqrt{y-2}(⩾0)$，则上式即 $u^2-4u+4+v^2-6v+9=0$，亦即 ${\left(\sqrt{x-1}-2\right)}^2+{\left(\sqrt{y-2}-3\right)}^2=0$；
• 两个平方项均非负，和为零则各自为零：$\sqrt{x-1}=2\Rightarrow x=5$；$\sqrt{y-2}=3\Rightarrow y=11$；
• 所以 $2x-y=10-11=-1$，${\left(2x-y\right)}^{2026}=(-1{)}^{2026}=1$；
• 易错点：配方时要凑成”（根式 $-$ 常数）${"}^2"$ 的形式，常数 $10$ 恰好拆为 $4+6$；指数 $2026$ 是偶数，$(-1{)}^{2026}=1$．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：