〚新思路8.20.1.1-8〛

题目

$x$ 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）$\sqrt{2-3x}$；　　（2）$\sqrt{\frac{1}{3x-6}}$；　　（3）$\sqrt{\frac{x+4}{x-3}}$；　　（4）$\sqrt{x+4}+\sqrt{x-3}$；

（5）$\sqrt{2x+6}-\frac{1}{\sqrt{-3x}}$；　　（6）$\sqrt{\frac{x}{x-2}}$；　　（7）$\sqrt{6-x}+\frac{2}{2-\sqrt{x}}$；　　（8）$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$．

导引

解答

（1）$x⩽\frac{2}{3}$；（2）$x>2$；（3）$x⩾-4$ 且 $x\ne 3$；（4）$x⩾3$；（5）$-3<x<0$；（6）$x>2$ 或 $x⩽0$；（7）$0⩽x⩽6$ 且 $x\ne 4$；（8）$x⩾0$ 且 $x\ne 1$（书后参考答案）

解读

• （1）$2-3x⩾0\Rightarrow x⩽\frac{2}{3}$；
• （2）分母 $3x-6$ 在根号内又作分母：须 $3x-6>0$（严格大于），$x>2$；
• （3）$\frac{x+4}{x-3}⩾0$ 且 $x-3\ne 0$：分子分母同负得 $-4⩽x<3$（含分子为零）；同正得 $x>3$；合并为 $x⩾-4$ 且 $x\ne 3$；
• （4）$\{\begin{array}{l}x+4⩾0\\ x-3⩾0\end{array}\Rightarrow x⩾3$（取交集，取更严的）；
• （5）$\{\begin{array}{l}2x+6⩾0\\ -3x>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x⩾-3\\ x<0\end{array}$，即 $-3<x<0$（注意 $\sqrt{-3x}$ 作分母，须严格大于零）；
• （6）$\frac{x}{x-2}⩾0$ 且 $x-2\ne 0$：同号或分子为零，得 $x>2$ 或 $x⩽0$；
• （7）$\{\begin{array}{l}6-x⩾0\\ x⩾0\\ 2-\sqrt{x}\ne 0\end{array}\Rightarrow 0⩽x⩽6$ 且 $x\ne 4$；
• （8）分子 $\sqrt{x}$ 须 $x⩾0$；分母 $\sqrt[3]{1-x^2}$ 是三次根式（被开方数不限）但作分母须 $\ne 0$，即 $x\ne \pm 1$；联立得 $x⩾0$ 且 $x\ne 1$；
• 易错点：根号内分母要严格大于零；“且”与”或”区分：（3）（6）是不等式 $\frac{A}{B}⩾0$ 的两类同号情形．

解析

附注

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书后答案：