〚新思路8.20.1.2-14〛

题目

把下列各式化成最简二次根式： （1）$\sqrt{25m^3}$；　　（2）$\sqrt{1\frac{4}{5}}$；　　（3）$\sqrt{(-8{)}^2-4\times (-4)}$；

（4）$\sqrt{{\left(3\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$；　　（5）$\sqrt{\frac{7(a-b)}{81(a+b)}}$（$a>b$）；

（6）$\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}$（$b<a<0$）；　　（7）$\sqrt{\frac{-x^3}{(x-1{)}^2}}$；

（8）$\sqrt{(m^2+n^2{)}^2-(m^2-n^2{)}^2}$（$mn<0$）；　　（9）$\frac{a}{a^2-1}\sqrt{\frac{(a-1{)}^2}{a^4}}$（$0<a<1$）．

导引

解答

（1）$5m\sqrt{m}$；（2）$\frac{3}{5}\sqrt{5}$；（3）$4\sqrt{5}$；（4）$\frac{5}{2}\sqrt{2}$；（5）$\frac{\sqrt{7(a^2-b^2)}}{9(a+b)}$；（6）$\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{ab}$；（7）$\frac{x}{x-1}\sqrt{-x}$；（8）$-2mn$；（9）$-\frac{1}{a(a+1)}$（书后参考答案）

解读

• （1）$\sqrt{25m^3}=\sqrt{25m^2}\cdot \sqrt{m}=5m\sqrt{m}$（$m⩾0$）；
• （2）带分数化假分数：$\sqrt{1\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{\sqrt{9\times 5}}{5}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$；
• （3）先算术：$\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$；
• （4）${\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}+\frac{1}{4}=\frac{50}{4}$，原式 $=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$；
• （5）被开方数含分母 $81(a+b)$：$\sqrt{\frac{7(a-b)}{81(a+b)}}=\frac{\sqrt{7(a-b)(a+b)}}{9|a+b|}=\frac{\sqrt{7(a^2-b^2)}}{9(a+b)}$（由 $a>b$ 及被开方数非负知 $a+b>0$）；
• （6）先通分：$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}$，原式 $=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{|ab|}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{ab}$（$b<a<0$ 时 $ab>0$；且被开方数非负要求 $b^2-a^2⩾0$）；
• （7）被开方数非负要求 $x⩽0$ 且 $x\ne 1$：$\sqrt{\frac{-x^3}{(x-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{-x\cdot x^2}}{|x-1|}=\frac{|x|\sqrt{-x}}{|x-1|}=\frac{-x}{1-x}\sqrt{-x}=\frac{x}{x-1}\sqrt{-x}$（$x⩽0$ 时 $|x|=-x$，$|x-1|=1-x$）；
• （8）先用平方差：$(m^2+n^2{)}^2-(m^2-n^2{)}^2=4m^2{n}^2$，原式 $=\sqrt{4m^2{n}^2}=2|mn|=-2mn$（$mn<0$）；
• （9）$\sqrt{\frac{(a-1{)}^2}{a^4}}=\frac{|a-1|}{a^2}=\frac{1-a}{a^2}$（$0<a<1$），原式 $=\frac{a}{(a-1)(a+1)}\cdot \frac{1-a}{a^2}=-\frac{1}{a(a+1)}$；
• 易错点：每小题几乎都藏符号讨论：$|mn|$、$|ab|$、$|x|$、$|a-1|$ 去绝对值必须用题给条件；（2）（4）带分数/平方和要先化简再开方；

解析

附注

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书后答案：