〚新思路8.20.1.2-19〛

题目

已知 $a+b=-4$，$ab=1$，求 $a\sqrt{\frac{a}{b}}+b\sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值．

导引

解答

$-14$（书后参考答案）

解读

• 先定符号：二次根式有意义要求 $\frac{a}{b}⩾0$ 且 $\frac{b}{a}⩾0$，故 $a$、$b$ 同号；又 $ab=1>0$，所以 $a$、$b$ 同正或同负；而 $a+b=-4<0$，所以 $a<0$，$b<0$；
• 化简：$a\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{ab}{b^2}}=\frac{a\sqrt{ab}}{|b|}=\frac{a\sqrt{ab}}{-b}=\frac{-a\sqrt{ab}}{b}\cdot (-1)$……逐项化简：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^2}{ab}}=\frac{|a|}{\sqrt{ab}}=\frac{-a}{\sqrt{ab}}$，所以第一项 $=\frac{-a^2}{\sqrt{ab}}$；同理第二项 $=\frac{-b^2}{\sqrt{ab}}$；
• 原式 $=\frac{-(a^2+b^2)}{\sqrt{ab}}=-\frac{(a+b{)}^2-2ab}{\sqrt{ab}}$；
• $\sqrt{ab}=\sqrt{1}=1$（$ab=1>0$），$(a+b{)}^2=16$，$2ab=2$；
• 原式 $=-(16-2)=-14$；
• 易错点：不讨论符号直接把 $a\sqrt{a/b}$ 写成 $a\cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；正确路径是化成 $\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 后用 $|a|=-a$ 处理，或如上统一到 $\sqrt{ab}$；

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅👍🙇

书后答案：