题目

一般地，我们把形如 $m + n$ 的二次根式称为复合二次根式，下面介绍此类根式的化简方法．若 $x + y = a$ ， $x y = b$ ，则 $a + 2 b = x + y$ ，如： $4 + 23 = 3 + 1$ ．

例　化简： $27 - 102$ ．

解　原式 $= 27 - 250 = 25 - 2 = 5 - 2$ ．

请模仿上例化简以下各式：

（1） $18 + 82$ ；　　（2） $17 - 122$ ；　　（3） $2 + 3$ ．

导引

（1） $4 + 2$ ；（2） $3 - 22$ ；（3） $\frac{6 + 2}{2}$ （书后参考答案）

解读

原理： $(x \pm y)^{2} = x + y \pm 2 x y$ ，所以把 $m \pm n$ 化成 $m \pm 2 \frac{m ^{2} - n}{4}$ 的形状，找出两数使其和为 $m$ 、积为对应值；
（1） $18 + 82 = 18 + 232$ ：找和为 $18$ 、积为 $32$ 的两数： $16$ 与 $2$ ，即 $16 + 2 + 2 16 \times 2$ ，原式 $= 16 + 2 = 4 + 2$ ；
（2） $17 - 122 = 17 - 272$ ：和为 $17$ 、积为 $72$ 的两数： $9$ 与 $8$ ，原式 $= ∣ 9 - 8 ∣ = 3 - 22$ （结果非负，大减小）；
（3）根号内只有 $3$ 没有 2 倍系数：凑 $2$ 倍—— $2 + 3 = \frac{4 + 2 3}{2} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{2}$ ，原式 $= \frac{3 + 1}{2} = \frac{6 + 2}{2}$ ；
易错点：（2）开方后要取非负值， $∣3 - 22 ∣ = 3 - 22$ （ $3 > 22$ ）；（3）没有 2 倍系数时要先乘 2 再除以 2 凑形；

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：