〚新思路8.20.1.2-6〛

题目

要使 $\sqrt{x^3+3x^2}=-x\sqrt{x+3}$，那么 $x$ 的取值范围是______．

导引

解答

$-3⩽x⩽0$（书后参考答案）

解读

• 左边有意义：$x^3+3x^2=x^2(x+3)⩾0$，即 $x+3⩾0$（$x^2⩾0$ 恒成立），得 $x⩾-3$；
• 变形过程：$\sqrt{x^2(x+3)}=|x|\sqrt{x+3}$，要与右边 $-x\sqrt{x+3}$ 相等，需 $|x|=-x$，即 $x⩽0$（且 $\sqrt{x+3}$ 有意义已含于上）；
• 综合得 $-3⩽x⩽0$；
• 易错点：$\sqrt{x^2}=|x|$，等式成立要求 $|x|=-x$，即 $x⩽0$，容易漏掉这一半条件；

解析

附注

☆☆☆💯🏅👍

书后答案：