题目

将下列各式化为最简二次根式：（1） $4 1^{2} - 4 0^{2}$ ；　　（2） $98 x^{4} y^{5}$ ；　　（3） $6 \frac{3}{16}$ ；

（4） $\frac{75 m ^{3} n ^{2}}{2}$ （ $n < 0$ ）；　　（5） $\frac{16 x ^{3} + 36 x ^{2} y}{4 x - 9 y}$ （ $4 x > 9 y > 0$ ）．

导引

（1） $9$ ；（2） $7 x^{2} y^{2} 2 y$ ；（3） $\frac{3}{4} 11$ ；（4） $- \frac{5 mn}{2} 6 m$ ；（5） $\frac{2 x}{4 x - 9 y} 16 x^{2} - 81 y^{2}$ （书上解答）

解读

一般做法：① 把被开方数分解素因数或因式；② 把能开得尽的因式（或因数）移到根号外面；③ 化去根号内的分母；
（1）先因式分解： $4 1^{2} - 4 0^{2} = (41 + 40) (41 - 40) = 81 = 9$ ；
（2） $98 x^{4} y^{5} = 7^{2} \times 2 \cdot x^{4} \cdot y^{4} \cdot y$ ，故原式 $= 7 x^{2} y^{2} 2 y$ ；
（3）带分数先化假分数： $6 \frac{3}{16} = \frac{99}{16} = \frac{3 ^{2} \times 11}{2 ^{4}} = \frac{3}{4} 11$ ；
（4）分子分母同乘 2 化去分母： $\frac{75 m ^{3} n ^{2}}{2} = \frac{5 ^{2} \times 3 \cdot m ^{2} \cdot n ^{2} \cdot m \cdot 2}{2 \times 2} = \frac{5}{2} ∣ mn ∣ 6 m$ ；
- 由 $\frac{75 m ^{3} n ^{2}}{2} ⩾ 0$ 且 $n^{2} > 0$ 得 $m ⩾ 0$ ；又 $n < 0$ ，所以 $mn ⩽ 0$ ， $∣ mn ∣ = - mn$ ，原式 $= - \frac{5 mn}{2} 6 m$ ；
（5）先提因式再同乘共轭式化去分母： $\frac{16 x ^{3} + 36 x ^{2} y}{4 x - 9 y} = \frac{4 x ^{2} ( 4 x + 9 y )}{4 x - 9 y}$ ，分子分母同乘 $(4 x - 9 y)$ ，原式 $= \frac{4 x ^{2} ( 4 x + 9 y ) ( 4 x - 9 y )}{( 4 x - 9 y ) ^{2}} = \frac{2 x}{4 x - 9 y} 16 x^{2} - 81 y^{2}$ （ $4 x > 9 y > 0$ 时 $x > 0$ ， $∣2 x ∣ = 2 x$ ）；
易错点：（4）中 $m^{2} = ∣ mn ∣$ 的符号讨论： $n < 0$ 导致结果带负号；（3）中 $6 \frac{3}{16}$ 不能写成 $6 \cdot \frac{3}{16}$ ；

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书上解答：