〚新思路8.20.2.2-8〛

题目

求比${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}^6$大的最小整数．

导引

解答

设$\sqrt{6}+\sqrt{5}=x$，$\sqrt{6}-\sqrt{5}=y$，则$x+y=2\sqrt{6}$，$xy=1$．于是$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=22$，$x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-xy+y^2\right)=42\sqrt{6}$，$x^6+y^6={\left(x^3+y^3\right)}^2-2x^3{y}^3=10582$．因为$0<y<1$，所以$0<y^6<1$，则$10581<x^6<10582$，所以比${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}^6$大的最小整数是$10582$．

解读

• 核心是构造共轭因式：$x=\sqrt{6}+\sqrt{5}$与$y=\sqrt{6}-\sqrt{5}$满足$xy=1$，于是$x^n+y^n$恒为整数，可用它”夹”住$x^6$．
• 递推路线：$x+y\to x^2+y^2\to x^3+y^3\to x^6+y^6$，每一步都借助$xy=1$降次．
• 由$\sqrt{5}<\sqrt{6}<2.5$得$0<y=\sqrt{6}-\sqrt{5}<1$，故$0<y^6<1$，从而$x^6=10582-y^6\in (10581,10582)$．
• 答案取$10582$而不是$10581$：$x^6$略小于$10582$，比它大的最小整数才是$10582$．
• 易错点：忽略$y^6$的正负与范围而直接把$x^6$当整数；把”比它大的最小整数”理解成”四舍五入”．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：