〚新思路8.20.2.3-8〛

题目

$M=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$，$N=\sqrt{a}-\sqrt{a-1}$，其中$a>1$，则（　　）．

A．$M=N$　　B．$M>N$　　C．$M<N$　　D．$M$，$N$的大小关系由$a$决定

导引

解答

C

解读

• 对$M$、$N$分别分子有理化：$M=\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，$N=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}$．
• 比较分母：$\sqrt{a+1}+\sqrt{a}>\sqrt{a}+\sqrt{a-1}$，分母大的分数反而小，故$M<N$．
• 也可取$a=2$检验：$M=\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 0.318$，$N=\sqrt{2}-1\approx 0.414$，确认$M<N$，排除D．
• 易错点：直接比较$\sqrt{a+1}$与$\sqrt{a}$，误以为$M$更大；忽略$a>1$保证各根式有意义．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：