〚新思路8.20.2.3-9〛

题目

把下列各式分母有理化．

（1）$\frac{2}{\sqrt{18}}$；　（2）$\frac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$；　（3）$\frac{4a^2-9}{\sqrt{2a-3}}$；

（4）$\frac{x-9}{3+\sqrt{x}}(x\ne 9)$；　（5）$\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$；

（6）$\frac{x-y}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}$；　（7）$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$；

（8）$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{15}}$；　（9）$\frac{8+2\sqrt{15}-\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$．

导引

解答

（1）$\frac{\sqrt{2}}{3}$　（2）$-\sqrt{2}$　（3）$(2a+3)\sqrt{2a-3}$　（4）$-3+\sqrt{x}$　（5）$\sqrt{x^2-1}-x$　（6）$\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{xy}$　（7）$x-\sqrt{xy}+y$　（8）$\sqrt{3}+\sqrt{2}$　（9）$\sqrt{5}+\sqrt{3}$

解读

• 化简优先于有理化：（1）$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；（3）分子$4a^2-9=(2a+3)(2a-3)$，与分母约去一个$\sqrt{2a-3}$；（4）$x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$．
• （2）分母$1-\sqrt{2}$为负，有理化后得$-\sqrt{2}$，符号易错：$\frac{(2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{1-2}=-(2+\sqrt{2}-2-\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})=-\sqrt{2}$．
• （5）分子分母同乘$\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}$，分母变为$-2$，分子为$2x-2\sqrt{x^2-1}$，约分得$\sqrt{x^2-1}-x$．
• （6）分母提公因式：$x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$；（7）把分子看成${\left(\sqrt{x}\right)}^3+{\left(\sqrt{y}\right)}^3$，用立方和公式分解．
• （8）（9）都是”分组分解后再约分”：（8）分母$=\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$；（9）分子$=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$．
• 易错点：直接硬乘共轭式而不先分解，导致次数升高；忽略（4）中$x\ne 9$的条件；结果不化到最简．

解析

附注

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书后答案：