〚新思路8.20.2.4-e1〛

题目

计算下列各题：

（1）${\left(\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)}^2{\left(\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)}^2+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$；

（2）$\left(\sqrt{a}+\frac{b-\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)÷\left(\frac{b}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-b}\right)÷\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$．

导引

解答

（1）$547-382\sqrt{2}$；（2）$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$（书上解答）

书上分析：利用 $a^2{b}^2=(ab{)}^2$ 计算，可以使运算简便；对各式熟练地进行变形，能约分的先约分，使运算简便。

书上解：（1）原式 $={\left[(\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{3}-\sqrt{6}{)}^2\right]}^2+\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3}{)}^2}{3}$ $=(2-12+12\sqrt{2}-6{)}^2+3+2\sqrt{2}=288+256-384\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}=547-382\sqrt{2}$．

（2）原式 $=\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}÷\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}÷\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{a-b}{2\sqrt{ab}}\cdot \frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$．

解读

• （1）把 $2\sqrt{3}-\sqrt{6}$ 看成一个整体，前两个因式恰为”平方差”结构：${\left(\sqrt{2}+X\right)}^2{\left(\sqrt{2}-X\right)}^2={\left[(\sqrt{2}{)}^2-X^2\right]}^2$（其中 $X=2\sqrt{3}-\sqrt{6}$）；展开 $X^2=12+6-12\sqrt{2}=18-12\sqrt{2}$，故中括号内 $=2-18+12\sqrt{2}=12\sqrt{2}-16$，平方后再与后一项合并（书上直接展开数字，结果一致）；第二项把分子分母同乘 $(\sqrt{6}+\sqrt{3})$，分母变为 $(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=3$，即 $\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{3}{)}^2}{3}=3+2\sqrt{2}$；
• （2）三个除法依次化为乘法：$\frac{b}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-b}$ 先通分，分子 $b(\sqrt{ab}-b)+b(\sqrt{ab}+b)=2b\sqrt{ab}$，分母 $(\sqrt{ab}{)}^2-b^2=b(a-b)$，故括号内 $=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$；再连乘，$a+b$、$ab$ 约去，剩下 $\frac{a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\cdot \frac{1}{1}$，其中 $a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$，约分得 $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$；
• 易错点：混合运算先乘除后加减，有括号先算括号内；能把 $a-b$ 分解为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 是约分的关键。

解析

附注

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书上解答：