〚新思路8.20.2.4-e2〛

题目

已知 $9+\sqrt{13}$ 与 $9-\sqrt{13}$ 的小数部分分别是 $a$ 和 $b$，求 $ab-3a+4b+8$ 的值．

导引

解答

$8$（书上解答）

书上分析：一个代数式的小数部分等于该式减去该式的整数部分．

书上解：$9+\sqrt{13}$ 的小数部分 $a=9+\sqrt{13}-12=\sqrt{13}-3$． $9-\sqrt{13}$ 的小数部分 $b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$． $ab-3a+4b+8=(a+4)(b-3)+20=(\sqrt{13}+1)(1-\sqrt{13})+20=1-13+20=8$．

解读

• 先估算：$3<\sqrt{13}<4$，故 $12<9+\sqrt{13}<13$，整数部分为 $12$；$5<9-\sqrt{13}<6$，整数部分为 $5$；
• 小数部分 = 原式 − 整数部分：$a=9+\sqrt{13}-12=\sqrt{13}-3$，$b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$；
• 求值时不要急着代入展开：$ab-3a+4b+8$ 用分组分解凑成 $(a+4)(b-3)+20$，代入后 $(\sqrt{13}+1)(1-\sqrt{13})=1-(\sqrt{13}{)}^2\cdot \frac{1}{1}\cdot 1=1-13=-12$（平方差公式），得 $-12+20=8$；
• 易错点：$9-\sqrt{13}$ 的整数部分是 $5$ 而不是 $6$（因为 $9-\sqrt{13}\approx 5.39$）。

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书上解答：