〚新思路8.20.2.4-e3〛

题目

先化简，再求值：$\left(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\right)÷\frac{x-y+1}{\sqrt{x}}$，其中 $x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$．

导引

解答

$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（书上解答）

书上解：原式 $=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})+1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{x-y+1}=\frac{x+\sqrt{xy}}{x-y}$． 当 $x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$ 时，原式 $=\frac{3-\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

解读

• 分子 $x+2\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2$，与分母 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 约去，得 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$；通分到 $\sqrt{x}-\sqrt{y}$：$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})+1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x-y+1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$；
• 除以 $\frac{x-y+1}{\sqrt{x}}$ 即乘 $\frac{\sqrt{x}}{x-y+1}$，公因式 $x-y+1$ 约去，化简结果 $\frac{\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{1}$——注意分子还剩一个 $\sqrt{x}$：$\frac{(x-y+1)\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x-y+1)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$，分子分母同乘 $\sqrt{x}$ 得 $\frac{x}{x-\sqrt{xy}}\cdot \frac{1}{1}$——书上结果为 $\frac{x+\sqrt{xy}}{x-y}$（将 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ 分子分母同乘 $\sqrt{x}$，并把 $x-\sqrt{xy}$ 写成 $\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ 的形式后约分整理所得，两种形式等价）；
• 代入：$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$，故 $\sqrt{xy}=1$；$x-y=-2\sqrt{3}$；$x+\sqrt{xy}=3-\sqrt{3}$；原式 $=\frac{3-\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3})\cdot (-\sqrt{3})}{6}=\frac{3-3\sqrt{3}}{-6}\cdot \left(-1\right)$，整理得 $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
• 易错点：除法变乘法时才可约分；字母取值要保证各分式有意义（$\sqrt{x}-\sqrt{y}\ne 0$ 等）。

解析

附注

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书上解答：