〚几何学辞典.34〛💯

题目

〚几何学辞典.34〛 如图，AB任意线段，P任意内分点，C为中点 （注：内分点=线段内的一点） 证明：$PC=\frac{1}{2}|PA-PB|$

解答

解答1，线段加减——常规几何分析

P在BC中间，PA=AC+PC，PB=BC-PC
P在AC中间，PA=AC-PC，PB=BC+PC
又∵AC=BC，故：PA-PB=（AC-BC）±2PC=±2PC

解答2， 化归思想/逻辑转化 ——基于数轴

• 常规定义，线段长度始终为正，顺序无关
• 针对P>C的情况：
  • 根据数轴线段长度定义：PC=P-C
  • 根据数轴线段长度定义：PA-PB=P-A-(B-P)=2P-A-B
  • 根据中点定义：C=(A+B)÷2
  • 故：PA-PB=2P-A-B=2P-2C=2(P-C)=2PC
• 针对P<C，同理

解答3， 化归思想/逻辑转化 ——基于数轴

定义AB=B-A；BA=A-B； 故：$|PA-PB|（传统线段定义）=|-PA-PB|（正负线段）=|PA+PB|（正负线段）$ 故：$PA+PB=A-P+B-P=A+B-2P=2C-2P=2PC$

三个解法中的数学思维

• 比较
  • 方法1，直接数值加减
    • 优点：整体思路简单
    • 缺点：针对每道题，都需要分析
  • 方法2，将“线段的加减”，通过“线段长、端点数值”的关系，转化为“端点加减”
    • 优点：直接做加减计算即可，无需分析
    • 缺点：需要清晰的转化思路
  • 方法3，在方法2的基础上，将线段长度定义正负，规避两个端点的左右问题
    • 优点：不仅无需分析，进一步，无需考虑端点的左右顺序
    • 缺点：需要更多的转化工作
• 总结：
  • 题目越复杂，方法3的优势越明显；
  • 题目简单，方法1最好，方法3仅具有“思维练习”的价值