〚培优教程8-5.1-4〛✶✶🏅

题目

如果多项式 $2x^4-3x^3+a{x}^2+7x+b$ 能被 $x^2+x-2$ 整除，那么a:b的值是 ——关联：多项式除法 ——①直接使用除法计算；②使用辗转相除计算；③使用待定系数（需要十字相乘） ——④根因子法，以及特别的根因子法（很有趣的思想） ——是一道很好的综合测试、练习题目 ——链接： 〚培优教程8-5.1-4〛✶✶🏅

解答

辗转相除 $2x^4-3x^3+a{x}^2+7x+b$ $=2x^2(x^2+x-2)-5x^3+(a+4)x^2+7x-b$ $=2x^2(x^2+x-2)-5x(x^2+x-2)+(a+9)x^2-3x-b$ 故：$(a+9):(-3):(-b)=1:1:(-2)$ 故：b=6；a=-12

待定系数 $2x^4-3x^3+a{x}^2+7x+b=(x^2+x-2)(2x^2+mx+n)$ 根据 $-3x^3$ 十字相乘，$m+2=-3，m=-5$ 根据 $7x$ 十字相乘，$-2\times (-5)+n=7，n=-3$ 进一步，十字相乘，计算a、b

常规的根因子法 $2x^4-3x^3+a{x}^2+7x+b=(x+2)(x-1)(2x+m)$ x=1时，$2-3+a+7+b=0$；即：$a+b=-6$ x=-2时，$32+24+4a-14+b=0$；即：$4a+b=-42$ 解方程得：$a=-12,b=6$

特别的根因子法

附注

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