题目
【斜边中线定理】如图，Rt▲ABC，D为中点；证明：DA=DB=DC
归属：三角全等、几何证明方法
——基础问题，证明过程用的知识、证明方法，也都是基础的
——不错的基础练习
年级：7年级
解答（1）
证明
- 作：DE⊥AB
- 易得：▲AED≌▲BED；得证
解答（2）
证明
- 作：BD延长，B’D=BD
- 易得：▲ADB’≌▲CDB
- 可得：▲BAB’≌▲ABC；得证
解答（3）
证明
- 作CB延长线，CB=C’B
- 易得：▲ABC≌▲ABC’
- 故有AC=AC’
- 据中位线性质：BD=AC’/2=AC/2；得证 解析
- 主要利用的逻辑是：中位线
- 中位线、斜边中线，谁在前并不确定——有循环论证之嫌 ——此方法，仅作思路拓展
解答（4）——反证法
证明
- 如图，定义∠1、∠2
- 若BD>AD 则∠1>∠A，∠2>∠C 又∠1+∠2+∠A+∠C=180 故：∠1+∠2>90°——这与直角矛盾
- 同理 BD<AD 也不可能
- 故，只能：BD=AD；得证 解析
- 主要利用的逻辑是：长边对应的角更大
备注
1. 关键约束
题目中“垂直”“中点”是两个关键信息
所谓关键：
l 普通条件：对题目的限定起到托底的作用，非解题过程中的难点
比如此题中，绝非考验我们是否直到内角和是180°
l 关键条件：具体的、最后一层的限定了题目
1) 具体：
这个条件需要详细描述，至少需要文字描述。
相比较，三角形可能用“如图”代替。但关键条件不可以。
2) 最后一层
对题目最清晰的限定。
常识限定：比如，直线、线段都不会在每道题定义
普通条件：显而易见的的题目限定
最后一层：最为具体的限定
关键约束势必在证明过中发挥直接作用
势必：
几乎所有题目，给的条件是“恰到好处”的
极少数题目存在干扰条件、冗余条件，但可以通过合理性分析、约束分析来判断。这里不做展开。
直接：
题目中“三角形”也是一个条件，但我们会自然的用到180°等性质
故，不成为“关键约束”，因此看起来并没有直接在起作用
但“中点”、“垂直”则不是，整个证明过程几乎是围绕它们展开。
如果说“三角形”像战斗的大后方，关键约束则如同直接冲锋陷阵的战士。
如何用好关键约束，是解题关键。
其中，约束的等价，起到重要作用。
1. 约束等价
约束等价
即 约束的等价
即 约束条件的等价条件
案例来说明
① 证明方法1中的约束等价
证明中“全等”的条件来源： 1) AD=DC → AE=BE
2) ∠ABC=90° → ∠AED=∠BED
① 关于“中点”的几个等价
n 等价1
过“点”的平行线，交点是中点 等价于 “点”是中点
n 等价2
“点”平分三角形面积 等价于 “点”是中点
n 等价3
过“点”直线，与两端点距离相等 等价于 “点”是中点 等价于 过“点”任意直线，与两端点距离相等
图示：
n 等价扩展
以上结论，对于“三等分点”“按比例分割点”同样成立
② 关于“垂直”的几个等价
n 等价1
“角”等于补角
等价于
“角”是直角
n 等价2
平行线，同旁内角相等
等价于
“角”是直角
参考“证明2”
n 等价3
左右对称 等价于 “角”是直角
③ 证明2中“延长线（三点共线）”的等价
如上图，BDB’三点共线，此时有：
如上图，BDB’三点共线，此时有：
与任意线，形成“互补角”，或“对顶角”
等价于
三点共线
注：
不明白这个，常会出现“三点共线”条件用的不顺畅
梅涅劳斯定理的证明有体现
1. 约束等价的价值
约束等价，即解题中的“信息流”
约束等价，即解题中的“链接”