题目
已知：AB=AC，AD=BC，∠A=100°；求：∠BCD=？
归属：三角全等、等边三角形
——有些难度，适合提高练习
——有非常多的方法（10+），全需要构建全等，适合结构化深入练习
年级：7年级
解答
方法1——AB等边
求解
- 作：等边三角形ABE
- 易得：EBC≌ADC，AEC等腰
- 故：∠ACE=10°，∠ECB=∠ADC=30°，得解
方法2——AB等边+线段分割
求解
- 作：等边▲ABF
- 作：CE=CA；故：BD=BE
- 可得：▲ADE≌▲BFC；故：DE=BF=EC
- 故：∠BCD=∠BED/2=10°，得解
解析
- 等边辅助线
等边三角形的构建始终困难；
而这里，仅仅有了等边三角形，依然难以解出题目——这个此方法最大坎
——此时，似乎往前进了一步，同时也似乎没有解决的迹象
——继续，构建与40、70、70全等的三角形 - BC拆分辅助线
这个辅助线相比等边三角形，更容易想到一点
此时，困难类似，问题并没有解决——如何证明边相等？
——以下，是一个解决方法（参考“方法3”）
——另一个方法，便是当前这个方法
两个方法的共同点都是：构造全等三角形，从而证明边相等 - 好的正推、倒推习惯 两组相等的边，多个角度的计算，这些不难，但也需要扎实的基础能力
- 构建全等的能力 找到全等三角形依赖于好的正推以及构建能力，有一些难度
- 坚韧的解题心理 两个辅助线，几乎都能独立的代表一个解题思路，但都不能独立做出来 整个过程最容易失败在：做了一个辅助线，碰到困难，然后放弃；持续的得出第二条辅助线，有较大难度。 反过来说明：只要我们的解题思维不出问题，坚持走下去，大概率会成功
- 方法评价
- 复杂：不知是思考的不够，还是本来就如此，总归这个方法做的很复杂
- 值得：但从锻炼能力角度，值得完成
手稿参考
方法3——线段分割+等边
求解
- 作：CA=CE
- 作：等边▲ECF
- 可得：▲CAF≌▲ABC；故：∠AFE=20°，∠FAE=30°
- 可得：▲ADE≌▲AFE；故：ED=EF=EC；得解
解析
整个过程，与“方法2”同构
手稿参考
注：
以下，如果有等边三角形，则E点不需要，直接用等边即可（参考后面方法）
故：
如果有等边三角形，常常让切分BC失去价值；
如果仅切分BC，脱离等边三角形，来完成求解呢？
方法4——AC等边
求解
- 作：等边▲ACE
- 易得：AB=AE，∠AEB=10°，∠BEC=50°
- 易得：BCE≌CAD，故：∠ACD=∠BEC=50°，得解 解析 与“方法1”同构
方法5——线段加减+AC等边
求解
- 作：AE=BD；
- 作：等边▲ACF
- 可得：BCF≌ADC；故：BF=DC；
- 故：BEF≌BDC，得解
解析
复杂：比方法1复杂；
价值：对三角全等体现的无以复加
原因：这个方法存在的原因是：
我们未必能想到“等边三角形”这个辅助线方法
相比而言，AE=BD更符合一般思维
——因为转化为BE=BC，这个条件更方便使用
那么，有了AE，如何继续完成，便是这个方法的由来
由于每个人思维不同，选择的解题路径也就各异；一个方法，可能不完美，但却是实际中经常出现的。接受这种方法，做下去，不完美也是做出来了
草稿参考：
草稿，更直接的构建全等
方法6——AC等边
求解
- 作等边三角形ACE
- 易得：ADE≌ABC
- 故：DEC等腰，∠DEC=60°+100°，得解
草稿
方法7——三个全等
求解
- 做等边BCE，
- ACE≌ADC≌ABE
- AE对称轴，∠ACD=∠CAE=∠EAD=50°，得解
方法8——从等边开始
求解
- 作等边三角形ADE
- 易得 ABC≌AEC，ADC≌EDC
- 故：∠ACD=100°÷2=50°，得解
手稿参考
解析 - 辅助线，简洁清晰
- 求解过程，简洁清晰
方法9——拆分60°+相似
求解
- 作AE，分∠A=40°+60°
- 作等边三角形AEF
- 故有：EBF是等腰三角形；易得：∠FBE=10°
- 另有：ABE∾ABC；结合边相等可得 AF:AC=AB:AD；故：BF∥DC
- 故：∠BCD=∠FBE=10° 思路来源
- 基于60°这个数值特征，做第一步尝试。尝试同时，尽量关联各已知信息。
- 常规正推
- 倒推与猜想，结果需要平行，平行需要相似
手稿参考
解析 - 60°——方法的最初思路来源
- 相似——关联重要的已知信息，解题逻辑的核心
- 方法——最大困难在于不能坚持，从而不能完成，一般是在“平行”这一步证明不出来。
方法10——上一方法的姊妹方法
求解
- 作AE，分∠A=40°+60°（同上，左右不同）
- 作等边三角形AEF（同上）
- 故有：ECF是等腰三角形；易得：∠FCE=10°（同上，B换成C）
- 构建全等：作∠ABG=100°，GFC三点共线
- 证明 BG=BD，即：x=b
- 从而，BGC≌BDC；从而，∠BCD=∠FCE=10°；得解 思路来源
- （同上）做出60°，做出等边三角形
- （同上）常规正推，得到等腰
- （同上）倒推与猜想，结果需要全等
- 为了全等，重新开始正推，正推分析得到BG=BD
手稿参考
解析 - 姊妹方法——主要指最初100=60+40的思路一致
- 更困难 ——一方面，构建全等三角形，并不太容易想到，以及需要一些胆识 ——另一方面，全等的证明，需要较扎实的能力
- 链接思维，关于证明中的BG=BD ——从“杂乱”的信息中，向着目标“x=b”不断分析，努力建立信息之间的连接 ——只要目标可靠，则努力，必然成功
- 方法难度 ——全等的构建与证明，都不容易；相比而言，最初思路反不是最难 ——进一步：解题需要任性，不可轻易放弃；碰到困难未必是方向不对，可能只是能力、努力不够
方法11——特别的构建
求解
- 作三角形DAE，满足：∠ADE=20°，EAC共线；此时，即 DA=DE
- 作等边三角形DEF
- 易得：DAE≌ECF；故：EC=ED，∠ECD=50°
- 得解：∠BCD=50°-40°=10° 思路来源
- ※辅助线原则——通过辅助线建立各已知信息之间的（更多）关联 手稿 无，盯着图形完成 解析
- 辅助线不容易想到
- 过程简单，但需要清晰的思路去组织逻辑过程
- 辅助线的描述影响解题，参考下一个方法
方法12——不同的辅助线描述（未完成）
求解
- 延长CA到E，AE=BD；
- 作CF，满足：CF=AE=BD，且∠ECF=80°；
- 易得：DAE≌ECF；故：EF=ED（但是尚不知道和EC、AD相等）
- 易得：FC∥=DB，DFCB是平行四边形
- 但：ED=EC（即 证明等边三角形）如何完成？ 解析 同样辅助线，换一个约束，则证明碰到困难 1. 困难产生的原因是什么？ 2. 如何避免困难的辅助线？ 3. 如何解决困难？
方法13——（未完成）
解题提示——思路导引
条件分析，AD=BC——不是等腰，没有全等，如何利用？
或可以考虑：截断、延长，产生更多的相等 或可以考虑：基于这一个条件，构建出全等 或可以考虑：构建第3条线和它们相等，进一步产生更多信息
条件分析，100°——隐含的信息
如果是110°，那么▲=110、35、35，没啥特别的 但这里100°，▲=100、40、40，特别的是： 100-40=60 60°的特殊性：①60°的直角三角形很特殊；②60°是等边三角形的角度 即：这可能是一个 ※ 数值问题-隐含的必要特征 数值的特殊性，是解题的一个重要条件
几何题中结论的转化
其一，求∠BCD，相等于求∠BDC，相当于求∠ACD 其二，求∠BCD，相当于求一个新的角度之间约束 任何一个推导出来的、新的关于角度的信息（约束），都相当于解出来这道题 无需提前明确“相当于什么”，任何新的信息，都足以
辅助线分析
结合以上三点，作辅助线，最好能符合不止一个想法 链接思维 题目的条件，集中在图形上半部 题目的问题，在图形的下半部 辅助线：尽可能在已知、未知之间产生关联——关联即信息
解题提示——方法导引
以下每张图，都是一个解题方法
解析
归属：等边三角形、
约束表达——解题思路是如何想到的？
题目问题∠BCD是多少，转化为：▲ADC的角度，转化为：▲BDC的角度 这两个转化，都可以打开思路——转而关注▲ADC、▲BDC
三角全等
这是一个特殊的构建，不是要找到全等，而是要自己画出来全等 ——这需要基于反向应用全等的条件去创建
※辅助线原则——辅助图形是如何找到的？
全等的构建，基于条件，创建100°角是一个有效的约束 怎么创建呢？——40°+60° 又怎么得到60°呢？——通过等边三角形 为什么是等边——可以利用到边相等 这里，相当于增加了熟悉的点（E），相当于不增加额外负担 这符合 ※辅助线原则 同时可见：如果不是100、40、40的等腰三角形，这道题解法不成立 等边三角形，在边长相等却无法利用时，在100/40角度时，常是有效手段 ——一方面，这是经验 ——另一方面，这符合辅助线原则 ——参考 “边相等”如何使用？
※ 组合，约束的核心表达方式
构建全等，是一个思想 但是如何构建？需要另一个思想，即：尽可能关联信息 ——参考“方法4”，并没有凭空创建一个全等，而是把AB=AC、AD=BC尽可能利用起来 ——参考，如下“随意”构建，或者“随意做辅助线”，会进入误区，陷入困境
※ 数值问题-隐含的必要特征
题目中的100°、40°、40° ——首先，基础价值：①作为普通角度，用于数值计算；②等腰的一个体现； ——其次，100-40=60，是具有特征的数值； 比如，60度直角三角形，有明确的边长关系 比如，60度，是等边三角形的角度 60度是等边三角形角度，这在本题中发挥了不可替代的作用 如何说明不可替代？ ——其一，每个解法，都用到等边三角形 ——其二，若改变数值，比如：110°、35°、35°，则解法失效 注：待验证 注：问题依然可解，但需要三角函数知识
链接思维
在以下求解方法中，建立信息链接的努力，是较难较关键的一步
链接思维 条件分析
分析条件分步 分析如何关联条件 分析如何提取信息（数值特征）
题目点评
一道几何体
（知识） 题目用到三角形全等 最早7年级学生可以尝试，或者提前学过几何的6年级学生 但8、9年级也未必能解得顺利
（类型） 题目属于逻辑难度，简洁、优雅，但有一定的推理难度
（价值） 值得中上学生思考——一道好题目，就是好老师 从挣扎到解出来，其中体会、锻炼到的内容，就是进步 从做不出到看答案看明白，这个过程也是进步 几何能力，就是这类能力
图1，题目 图2，提示（如果举步维艰，参考提示） 图3，明确提示（如果还有困难，继续参考） ——这里给了10个以上的方法 ——有了辅助线，难度降低一半；有2-3个方法容易，其他方法补上过程依然是个考验 图4、5、6、7、8、9，解题
解答要求
- （经验拓展）适当思考→看一遍答案
- （能力锻炼）适当思考→需要时参考解答导引→完成几个方法
- （思维锻炼）独立思考→需要时参考思维导引→需要时参考解答导引→总结分析
1，基础学生 2，中上学生 3，头部学生 4，竞赛学生