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题目

如图，BD是▲ABC的角平分线，E是BC上一点，且BD是BA、BE的比例中项；求证：AD·CD=AB·CE ——关联：⫘相似-SSA半相似、尺规作图、草图原则 ——①几何草图：题目中的图，不好；重新作图，体现特征，有可能节约1/3解题时间 ——②尺规作图：是个冷门知识，在GeoGebra中复制一个动态角度 ——③半相似：非常典型的半相似题目，有多组半相似 ——链接：〚251129〛☆☆🏅

解答

基础推理 根据“角平分线+比例中项条件”，易得： ——$△①\sim △②$ ——$\angle \alpha =\angle \beta =\angle \gamma$ 方法① 易得：$△③\sim △④$ 故：$\frac{DC}{EC}=\frac{BC}{DC}$ 另：∵BD是角平分线，∴ $\frac{BA}{AD}=\frac{BC}{DC}$ 从而：$\frac{DC}{EC}=\frac{BA}{AD}（=\frac{BC}{DC}）$，得证 方法② 作两垂线，易得如下相似，故，$\frac{AB}{CD}=\frac{m}{n}$ 另，易得如下相似，故 $\frac{AD}{CE}=\frac{m}{n}$ 从而 $\frac{AB}{CD}=\frac{AD}{CE}(=\frac{m}{n})$ 得证 方法③ 延长DE作等腰三角形，CE=CF 易得 $△BAD\sim △DCF$ 从而 $\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{CF}$，又CE=CF，得证

关于半相似

如下图 其中 $①\sim ②$ —— 这个结论，来自于题目给的条件 $③\sim ④$ —— 这个结论，来自于两个角度相等 $①半相似③$ —— 一个角相等+一个角互补 $①半相似④$ —— 直接来自于“角平分线”也即：一个角相等+一个角互补 $②半相似③$ —— 一个角相等+一个角互补 $②半相似④$ —— 一个角相等+一个角互补 当两个三角形半相似，意味着： ——一个角相等、一个角互补、两个角相对的四条边成比例 ——第三个角没有关系，第三边没有关系

附

几何草图 特征明显 ——第2个图，那个角相等，那个三角形相似，一目了然 复制角度的方法 在GeoGraphy软件中，如果精确的作图，可能需要一个操作：画一个角度和另一个角度相等 一个有趣的问题，虽麻烦点，但能搞定

附注

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