题目
求100以内质数的个数？ 🔯质数、一个问题的数学方法、、〚260621〛100以内质数的个数
解答
基础分析
- 方法1，一个一个的找。这个方法中“判断是否是质数”有数学的影子，这个方法本身不太体现数学。
- 方法2，尝试用对偶排除法做计算
计算过程并非所有问题，都有漂亮的数学方法。有的根本也没有太好的方法，有的有方法但也有点蹩脚，有的有理想的数学方法。这个问题属于第2种情况，有方法，但不完美略蹩脚。好歹，里面有数学的影子，且有自己的价值（当范围扩大，能大大减少计算量）
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计算方法
- 首先，把以下117个倍数去掉 2的倍数50个 3的倍数33个 5的倍数20个 7的倍数14个
- 其次，把以下45个倍数加回来 2×3、2×5、2×7的倍数，16+10+7=33个 3×5、3×7的倍数，6+4=10个 5×7的倍数加回来，2个
- 然后，把以下6个倍数减掉 2×3×5的倍数，3个 2×3×7的倍数，2个 2×5×7的倍数，1个
- 最后 把“2、3、5、7”加上，4个 把“1”减掉，1个
- 算式：100-117+45-6+4-1=25
一点解释
- 2、3、5、7的倍数117个，超过100个。这是好事，提醒我们事情没完。
- 为什么不减11的倍数？ 因为11×11>100，故100以内，如果一个数是11的倍数，那么一定是比11小的2、3、5、7某个数的倍数。这在 判断质数的方法 - 清晰、准确、简洁 🆗 中有说明。
- 为什么要加回 2×3、2×5…等倍数？ 这里加回的，都是“质数×质数”的这类合数的倍数。比如2×3=6，6的倍数在2的倍数里减了一遍，在3的倍数里也减了一遍。即上面117=50+33+20+14中，6的倍数是有被重复计算的（因此才出现超过100。，考虑到多减了2次，故需要加回来1次。
- 为什么2×3×5、2×3×7…等倍数需要再减一次？ 这里是“质数×质数×质数”的倍数，比如A×B×C，它的倍数，①在A的倍数里减了1次，②在B的倍数里减了1次；③在C的倍数里减了1次；④A×B的倍数里加回1次；⑤A×C的倍数里加回1次；⑥C×B的倍数里加回1次。此时，加减情况是：-1-1-1+1+1+1=0，没有减掉，因此需要减1次。
- 为什么不考虑“质数×质数×质数×质数”的情况 因为不会出现这种情况，因为最小的2×3×5×7已经大于100了。
- 为什么单独加一次“2、3、5、7”？ 最后算式100-117+45-6+4-1中的“+4”可以避免，比如“2的倍数50个，换成2的倍数但不是1倍，49个；3的倍数但不是1倍，32个…”，这样，最后算式中就不用“+4”这一步。 但是，这样处理并不好。 请关注现有的数据 5的倍数，20个； 2×5的倍数，10个（=20÷2）； 2×3×5的倍数3个（=10÷3）； 在需要的数据中，存在清晰的关联。如果我们寻找1000以内质数个数，10000以内质数个数，这个“关联”会带来计算上的遍历。在一个问题中，但凡存在清晰、明确的逻辑关系，就尽量不要打破它，小心的维护它，利用它。这本身体现的是 约束思想，相互的之间的约束关系、逻辑关系，是一份财富。另外，要对解决问题的细节保持敏感，这是数学里最奥妙的地方，细节见功夫。
计算思想
- 容斥原理，以上求解，主要借助这个思想
- 用一个文氏图（容斥图）说明
- 为了更容易理解，看看10以内的质数个数
算式：10-(2+3+5)+(1+1+0)-(0)+3-1=4个
这个问题，知识上并没有超出小奥的范围，主要应用就是容斥原理。
这个问题，最大难点是：容易心里上被问题吓住；其次，是对容斥原理并没有掌握到灵活应用的成都（这正常）
因此，这个问题，不是小学生的常规要求。但它是一个很好的检验，去看到“原来数学知识可以掌握到一个什么程度“。也是一个学生，是否适合严肃数学竞赛的试金石——不要求完整做出来，要求是：能有种感觉，这类题，是自己的菜。
附注
☆☆☆☆💯🏅👍🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-06-21 11:42