〚241025〛绝对值求和⭐⭐⭐💯

题目

如图

解答

思路1——简化化归

将此题转化为 |x-a|+|x-b|+|x-c|… $|\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}|+|\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}|+|\frac{7}{4}x-\frac{1}{4}|+|\frac{9}{4}x-\frac{1}{4}|+|\frac{11}{4}x-\frac{1}{4}|+|\frac{13}{4}x-\frac{1}{4}|$ $=3|\frac{1}{4}x-\frac{1}{12}|+5|\frac{1}{4}x-\frac{1}{20}|+7|\frac{1}{4}x-\frac{1}{28}|+...$ $=3|y-\frac{1}{12}|+5|y-\frac{1}{20}|+7|y-\frac{1}{28}|+...$ $=|y-\frac{1}{12}|+|y-\frac{1}{12}|+|y-\frac{1}{12}|+|y-\frac{1}{20}|+|y-\frac{1}{20}|+...$ 即 数轴上有3+5+7+9+11+13=48个点，其中有些是重复的点 找一个y，与这些点的距离和最短 故，答案：——最中间的点，或最中间的2个点之间 $3+5+7+9=11+13，最优解在9和11中间$ $\frac{1}{44}\le y\le \frac{1}{36}$ $\frac{1}{11}\le x=4y\le \frac{1}{9}$ 这个方法，涉及： 1. 对|x-a|+|x-b|+|x-c|…的熟悉，相对容易做到 2. 对 化归思想 的掌握——比较考验基本功 推荐的、首先掌握方法，用到的都是常规能力

思路2——纯（代数）分析

根据以下6个零点，分成7种情况讨论 $x=\frac{1}{3}、\frac{1}{5}、\frac{1}{7}、\frac{1}{9}、\frac{1}{11}、\frac{1}{13}$ 情况1，$x<\frac{1}{13}时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ 情况2，$\frac{1}{13}\le x<\frac{1}{11}时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ 情况3，… … 最容易想到的思路，但处理复杂——具体过程，参考思路3。

思路3——数形结合，原生分析

这是最有趣的方法 如同最初分析 |x-a|+|x-b|+|x-c|… 一样，对此题做类似分析 1. 不妨假定有以下点： $A=\frac{3}{4}x，B=\frac{5}{4}x，C=\frac{7}{4}x，D=\frac{9}{4}x，E=\frac{11}{4}x，F=\frac{13}{4}x$ 这6个点是动点，并且联动 2. 随着6点的变动，它们与点（$N=\frac{1}{4}$）的距离也在变化 3. 求最小距离 分析 1. 当所有点，都在 $N=\frac{1}{4}$ 的左侧时，即：x<1/13，此时 $原式=\frac{1}{4}\times 6-\frac{3+5+7+9+11+13}{4}\times x；（这是直接计算）$ $原式=6\times (\frac{1}{4}-2x)；（这是稍作整理）$ $原式=6\times (\frac{1}{4}与2x的距离)；（这是几何解读）$ $A与F的中点=B与E的中点=C与D的中点=2x；（几何结论的说明）$ $原式=\frac{1}{4}\times 6-\frac{3+5+7+9+11+13}{4}\times x=6\times (\frac{1}{4}-2x)；（稍作整理）$ X距离 2x的6倍，2x越大，距离越小；x增加a，距离增加（48/4）a x=1/13 2. 当x增加，$F=\frac{13}{4}x$在$N=\frac{1}{4}$的右侧，即：$\frac{1}{13}\le x<\frac{1}{11}$，此时 $原式=6\times (\frac{1}{4}-2x)+2\times (\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})；$ $原式=6\times (N与2x的距离)+2FN；$ 以上，第一条是代数分析，能想到，但需要一些比较与对齐 ——如果结合几何含义，更容易的得到 此时：随着x的增加，结果还是在不断变小 3. 当x增加，$E=\frac{11}{4}x$在$N=\frac{1}{4}$的右侧，即：$\frac{1}{11}\le x<\frac{1}{9}$，此时 $原式=6\times (\frac{1}{4}-2x)+2\times (\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})+2\times (\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}；$ $原式=6\times (N与2x的距离)+2FN+2EN；$ 此时，随着x变化，结果不再变化（不再减少） 4. 当x增加，$D=\frac{9}{4}x$在$N=\frac{1}{4}$的右侧，即：$\frac{1}{9}\le x<\frac{1}{7}$，此时 $原式=\frac{18}{4}x；$ 此时，随着x变化，结果开始增加 5. 当x继续增加，此时 此时，随着x变化，结果继续增加 故，最小结果出现在：$\frac{1}{11}\le x\le \frac{1}{9}$，此时：$结果=\frac{1}{2}$ 以上过程，说明白不容易，想明白，很有趣

思路4——（高观点）变化角度

最简洁思路，不易掌握 第1步，计算6个特殊值（分界点、零点）的值

1. $当\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{3}，此时$ $原式=0+(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ $=\frac{5+7+9+11+13}{4}x-\frac{1}{4}\times 5$ $=\frac{45}{4}\times \frac{1}{3}-\frac{5}{4}$ $=\frac{5}{2}$
2. $当\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{5}，此时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})+0+(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ $=\frac{-3+7+9+11+13}{4}x-\frac{3}{4}$ $=\frac{37}{4}\times \frac{1}{5}-\frac{1}{4}$ $=\frac{8}{5}$
3. $当\frac{7}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{7}，此时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})+0+(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ $=\frac{-3-5+9+11+13}{4}x-\frac{1}{4}$ $=\frac{25}{4}\times \frac{1}{7}-\frac{1}{4}$ $=\frac{9}{14}$
4. $当\frac{9}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{9}，此时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})+0+(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ $=\frac{-3-5-7+11+13}{4}x+\frac{1}{4}$ $=\frac{9}{4}\times \frac{1}{9}+\frac{1}{4}$ $=\frac{1}{2}$
5. $当\frac{11}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{11}，此时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})+0+(\frac{13}{4}x-\frac{1}{4})$ $=\frac{-3-5-7-9+13}{4}x+\frac{3}{4}$ $=-\frac{11}{4}\times \frac{1}{11}+\frac{3}{4}$ $=\frac{1}{2}$
6. $当\frac{13}{4}x-\frac{1}{4}=0，即x=\frac{1}{13}，此时$ $原式=-(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{5}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{7}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{9}{4}x-\frac{1}{4})-(\frac{11}{4}x-\frac{1}{4})+0$ $=\frac{-3-5-7-9-11}{4}x+\frac{3}{4}$ $=-\frac{35}{4}\times \frac{1}{13}+\frac{5}{4}$ $=\frac{5}{2}$ 第2步，分析
   1. 以上6个结果，容易比较大小
   2. 随着x的变化，结果是缓慢变化的，不会突变
   3. 在以上6个结果中间，增加或减少，均匀的从一个结果变到另一个结果
   4. 在x很小、x很大的两端，都是越来越大 第3步，6个结果中的最小结果，就是答案 即：$x=\frac{1}{9},x=\frac{1}{11},以及中间所有x值，都取到最小结果=\frac{1}{2}$ 图示

思路5——※ 规则化公式化

最快的方法 如果这道题万一出现在考试中，我们怎么做？ ——需要个清晰的规则 ——具体，参考 ※ 绝对值和的最小值

分类

※ 绝对值和的最小值 较难的绝对值问题，也是校内学习冲刺的目标 难点不在于解决问题的方法，而在于： 1. 这个方法成立的原因是什么？ 2. 是什么样的思维和基础能力，可让我们有机会想到这个方法？ ※ 规则化公式化 这个工作，是解题的最后要求 这个工作，常被忽视 这个工作，不可替代——深入理解问题、方法、思维 这个工作，价值非凡——用20%的精力，让解题受益翻番 化归思想 方法1，对划归思想体现充分

各方法比较，参考 ※ 绝对值和的最小值