〚CMO-2025.4〛☆☆☆🏅

题目

A tile is one of the two triangles made by cutting a square of area 3 in half along the diagonal.In attempting to tile a 49 by 49 square floor using these tiles with none of them overlappingand none going outside the square,it is impossible to tile it fully.Find the maximum numberof these tiles which can be used in this tiling. Demonstrate how to do this and prove that no more tiles will fit. 一块瓷砖是将一个面积为3的正方形沿对角线切割后得到的两个三角形之一。使用这些瓷砖铺设一块49×49的正方形地面，要求瓷砖之间不重叠且不超出地面边缘，但这样无法完全铺满地面。求在这种铺设方式下最多可以使用的瓷砖数量。请说明如何能实现上述要求，并证明无法再放入更多瓷砖。 ——关联：〚CMO-2025.4〛☆☆☆🏅、※ 根式估算、寻找题目的核心逻辑、等腰直角三角形

解答

解析-关于根式估算

如何估算 $49÷\sqrt{6}$ 的结果，是题目的一个难点 方法1：$49÷\sqrt{6}=\sqrt{(50-1{)}^2}÷\sqrt{6}=\sqrt{2401÷6}<\sqrt{2400÷6}=20$ 方法2：猜想证明

1. 根据场外信息，比较 $49$ 和 $20\sqrt{6}$
2. $49^2=(50-1{)}^2=2401；(20\sqrt{6}{)}^{=}2400$

解析-关注核心逻辑

关于 寻找题目的核心逻辑

什么意思

应用题目，或抽象程度低的题目，其问题未必有明确的数学意义上的约束限制。此时，完成对问题要求的数学表达，即找到题目的核心逻辑，成为解题的关键之一。

指向原始笔记的链接

本题中

要求：尽可能覆盖49×49 如何解读？即：余数尽可能小 但 $49÷\sqrt{3}$，余数固定，没有什么值得讨论 从而提示我们，也许除数可以有变化，未必是 $\sqrt{3}$ —— 还可以是 $\sqrt{6}$

解析 - 关于等腰直角三角形与正方形

这是一个小知识点 等腰直角三角形，有两种方式拼成正方形 它们边长是$1:\sqrt{2}$，面积比是 $1:2$

附注

👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-08 21:38