〚代数精编1.1-61〛

题目

(1)已知A,B,C满足$A\cap B=A,B\cap C=B$，求证:$A\subseteq C$ (2)已知$A=\{x|x=a^2+1,a\in N,a>0\},B=\{y|y=b^2—4b+5,b\in N,b>0\}$，求证：$A\subset B$ (3)已知$A=\{x|x=12a+8b,a,b\in Z\},B=\{x|x=20c+16d,c,d\in Z\}$，求证：$A=B$

解答

第（2）问，$1\notin A，1\in B$ 第（3）问，

1. $x=12a+8b=4(3a+4b)=4(3a+12a-12a+4b)=4(5(3a)+4(b-3a))$ $让c=3a，d=b-3a，有：20c+16d\in B$ 即：任意A中的元素，B中都能找到对应，故：$A\subset B$
2. $x=20c+16d=4(5c+4d)=4(5c+4c-4c+4d)=4(3(3c)+4(d-c))$ 即 $B\subset A$
3. 故：A=B

解析

👉※整数环（加减乘封闭）

这里的证明中， $x=12a+8b=4(3a+4b)=4(3a+12a-12a+4b)=4(5(3a)+4(b-3a))$ 其底层逻辑是：整数对于加减乘封闭 所以，可以随意的把整数（a、b）用加、减、乘进行组合，依然得到一个整数（c或者d）

👉构造思想

从12a+8b是怎么找到c、d的？ $12a+8b=4(5(3a)+4(b-3a))=4(5c+4d)=20c+16d$ 就是从a、b开始，七拼八凑，造出来的 这个方法，需要一点技巧，还不太稳定，就是用的好很好用

那，有没有别的思路？——试试看 12a+8b=20c+16d 3a+4b=5c+4d c=(3a+4b-4c)/5 这里有个巧合 4b 4c，从而只要找到一个数，+3是5的倍数，自己是4的倍数 ——相当于一个“中国剩余问题”

附注

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