〚代数精编2.1-16〛

题目

$k$ 为何值时，方程组 $\{\begin{array}{l}y=kx+2,\\ y^2-4x-2y+1=0,\end{array}$ （1）有一组实数解，并求出此解． （2）有两组不同的实数解． （3）没有实数解．

导引

解答

（书后参考答案） 将 $y=kx+2$ 代入 $y^2-4x-2y+1=0$ 中，整理得 $k^2{x}^2+(2k-4)x+1=0，$ $\Delta =(2k-4{)}^2-4\times k^2\times 1=16(1-k)$。

（1）当 $k=0$ 时，$y=2$，则 $-4x+1=0$，解得 $x=\frac{1}{4}$，方程组的解为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4},\\ y=2.\end{array}$ 当 $\{\begin{array}{l}k\ne 0,\\ \Delta =0\end{array}$ 时，原方程组有一组实数解，即 $k=1$ 时方程组有一组实数解。 将 $k=1$ 代入原方程组得 $\{\begin{array}{l}{y}^2-4x-2y+1=0,\\ y=x+2,\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=3.\end{array}$

（2）当 $\{\begin{array}{l}{k}^2\ne 0,\\ \Delta =-16(k-1)>0\end{array}$ 时，原方程组有两组不同的实数解，即 $k<1$ 且 $k\ne 0$。

（3）当 $\{\begin{array}{l}{k}^2\ne 0,\\ \Delta =-16(k-1)<0\end{array}$ 时，解得 $k>1$，即当 $k>1$ 时，方程组无实数解。

解析

附注

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