〚代数精编2.1-7〛

题目

若 $f(x)=(x^2-10x+c_1)(x^2-10x+c_2)(x^2-10x+c_3)(x^2-10x+c_4)(x^2-10x+c_5)$，集合 $M=\{x\mid f(x)=0\}=\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_9\}\subseteq \mathbf{N}$，且 $c_1⩾c_2⩾c_3⩾c_4⩾c_5>0$，则 $c_1-c_5=$（　）

（A）$16$．　（B）$15$．　（C）$14$．　（D）$15$．

导引

解答

A（书后参考答案）

提示：令 $t=x^2-10x$，则 $t=(x-5{)}^2-25⩾-25$，且 $x\in \mathbf{N}$。 $f(x)=0$ 有 9 个互异自然数根，即 5 个 $c_i$ 对应的 $t=-c_i$ 与 $t⩾-25$ 的交点共产生 9 个自然数。 由对称性 $x=5$ 附近取值，可得 $c_1=25$，$c_5=9$，故 $c_1-c_5=16$。

解析

附注

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